紹凱積分表示理論(Choquet theory of integralrepresentation)是基於凸集和凸錐理論的積分表示理論。在緊凸集情形，紹凱積分表示定理是克列因-米爾曼定理的推廣。
基本介紹
- 中文名：紹凱積分表示理論
- 外文名：Choquet theory of integralrepresentation
- 領域：數學
- 學科：積分表示理論
- 對象：凸集和凸錐理論
- 意義：克列因-米爾曼定理的推廣
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概念
紹凱積分表示理論(Choquet theory of integralrepresentation)是基於凸集和凸錐理論的積分表示理論。在緊凸集情形，紹凱積分表示定理是克列因-米爾曼定理的推廣。它斷言，對於局部凸空間中的緊凸集K中的任何x∈K，都存在K的端點集extK上的機率測度μx， 使得對於任何x*∈X*，有：
凸集
設C是R的子集，如果對任意兩點x1∈C，x2∈C，連結它們的線段仍在C中，即若x1，x2∈C，則α1x1+α2x2∈C，α1+α2=1，α1≥0，α2≥0，稱C為凸集。
空集，單個點，圓盤，實心三角形，全空間R都是凸集。
超平面 H={x：x∈Rn，CTx=b}；
閉半空間 H0={x：x∈Rn，CTx≥b}；
開半空間 H0={x：x∈Rn，CTx>b}；
超球 Sα(x0)={x：ㄧx∈Rn，‖x-x0‖≤α}；α為已知數，x0∈Rn，這些都是凸集，其中b是已知數，C是已知向量且不為0。
極點：若凸集C中的點x不能成為C中任何線段的內點，稱x為C的極點。極點一定是邊界點。四面體的頂點，圓周上的點都是極點。
凸集可用如下代數性質來刻畫：
C⊂Rn為凸集，點x1，x2，…，xn∈C，則它們的凸組合x=α1x1+α2x2+…+αnxn∈C。
凸集的交仍是凸集，如果C，D是R中的兩個凸集，則C+D={x+y|x∈C，y∈D}和λC={λx|x∈C}都是凸集。
在數學規劃中，許多重要結果能夠利用凸集的分離定理來證明。這些定理論述R中兩個不交的非空凸集C1和C2，對於它們存在超平面H使C1落在H的一側，而C2落在H的另一側。這樣的超平面稱為C1和C2的分離平面。
凸錐
凸錐是一類特殊的凸集。實線性空間中既是凸集又是錐的集合稱為凸錐。凸錐C滿足C+C⊂C。對於X中的任何子集A，由它生成的凸錐是其元素的所有正線性組合的全體。而當A是凸集時，由A生成的凸錐就是λA。如果凸錐C滿足C∩(-C)={0}，那么經常用它來定義實線性空間中的半序關係。對於x，y∈X， 定義x≥y為y∈x+C。則≥滿足：
1.x≥x。
2.x≥y，y≥x⇒x=y。
3.x≥y，y≥z⇒x≥z。
端點
凸集中的特殊點，它使該凸集去掉它後仍是凸集。設A為實線性空間X中的凸集。a∈A是A的端點的充分必要條件：如果存在x1，x2∈A，使得a=(x1+x2)/2，那么x1=x2=a。局部凸空間中的緊凸集一定是其端點集的閉凸包(克列因-米爾曼定理)。 當空間是有限維時，上述結果中閉凸包可改為凸包(閔科夫斯基定理)。這一結果也就是說，緊凸集中的每一點都可用關於端點的凸組合來表示。“無限”凸組合可用關於機率測度的積分來表示。由此就引起紹凱積分表示定理：局部凸空間中的緊凸集中的每一點都可通過在端點集上定義一機率測度，使得該點有積分表示。
端點概念可以推廣為一般的端子集。例如，對於凸錐可定義端射線為該凸錐去掉它後仍是凸錐.紹凱積分表示定理可推廣到凸錐情形。這時紹凱積分表示理論就與函式類的積分表示理論緊密聯繫起來。
端點線上性規劃理論中也起重要作用.每一線性規劃的解一定在它的可行集的端點上達到。因此，只需比較目標函式在端點上的值就可求得規劃的解。這正是單純形方法的基本思想。
