基本介紹
- 中文名:黑塞矩陣
- 外文名:Hessian Matrix
- 別名:海森矩陣,二階導數矩陣
- 提出時間:19世紀
- 提出者:德國數學家Ludwig Otto Hesse
- 特點:黑塞矩陣為對稱陣
- 套用學科:線性代數、運籌學
定義,二元函式的黑塞矩陣,多元函式的黑塞矩陣,對稱性,利用黑塞矩陣判定多元函式的極值,定理,實例,
定義
在工程實際問題的最佳化設計中,所列的目標函式往往很複雜,為了使問題簡化,常常將目標函式在某點鄰域展開成泰勒多項式來逼近原函式。
二元函式的黑塞矩陣
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其中,
。
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將上述展開式寫成矩陣形式,則有:
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即:
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其中:
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多元函式的黑塞矩陣
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其中:
(1)
,它是
在
點處的梯度。
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(2)
為函式
在
點處的黑塞矩陣。
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對稱性
原因:如果函式
的二階偏導數連續,則二階偏導數的求導順序沒有區別,即
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利用黑塞矩陣判定多元函式的極值
定理
設n多元實函式
在點
的鄰域內有二階連續偏導,若有:
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並且
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則有如下結果:
(3)當A不定矩陣時,
不是極值點。
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實例
求三元函式
的極值。
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解:因為
,故該三元函式的駐點是
。
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又因為
,
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故有:
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因為A是正定矩陣,故
是極小值點,且極小值
。
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