等價向量組

向量組等價的基本判定是：兩個向量組可以互相線性表示。

需要重點強調的是：等價的向量組的秩相等，但是秩相等的向量組不一定等價。

向量組A：a₁，a₂，…a_m與向量組B：β₁，β₂，…β_n的等價秩相等條件是

r(A)=r(B)=r(A,B).

其中A和B是向量組A和B所構成的矩陣

基本介紹

• 中文名：等價向量組
• 外文名：Equivalent vectors

基本定義

向量組A：a₁，a₂，…a_m與向量組B：β₁，β₂，…β_n的等價秩相等條件是

r(A)=r(B)=r(A,B).

其中A和B是向量組A和B所構成的矩陣。

（注意區分粗體字與普通字母所表示的不同意義）

或者說：兩個向量組可以互相線性表示，則稱這兩個向量組等價。

註：

1、等價向量組具有傳遞性、對稱性及反身性。但向量個數可以不一樣，線性相關性也可以不一樣。

2、任一向量組和它的極大無關組等價。

3、向量組的任意兩個極大無關組等價。

4、兩個等價的線性無關的向量組所含向量的個數相同。

5、等價的向量組具有相同的秩，但秩相同的向量組不一定等價。

數學實例

設有兩個向量組

(Ⅰ)：α₁，α₂，……，α_m；

(Ⅱ)：β₁，β₂，……，β_m；

如果(Ⅰ)中每個向量都可以由向量組(Ⅱ)線性表示，則稱(Ⅰ)可由(Ⅱ)線性表示；如果(Ⅰ)與(Ⅱ)可以相互線性表示，則稱(Ⅰ)與(Ⅱ)等價，記為(Ⅰ)≌(Ⅱ)。

例如：若β₁=α₁+α₂，β₂=α₁-2α₂，β₃=α₁，則向量組(Ⅰ)={α₁，α₂}與向量組(Ⅱ)={β₁，β₂，β₃}等價。事實上，給定的條件已表明(Ⅱ)可由(Ⅰ)線性表示，又容易得到，這表明(Ⅰ)也可以由(Ⅱ)線性表示，由定義即知(Ⅰ)與(Ⅱ)等價。