半球面

任何過球心的平面都把它分成兩個相等的半球面。過球心的任何兩個相交平面都將球體細分為四個球面二角形，其頂點全部與位於平面交線上的對徑點重合。

基本介紹

• 中文名：半球面
• 外文名：semi-spherical surface
• 相關術語：球面
• 猜想：黎曼圓的最佳等長填充
• 學科：數學
• 領域：數學，幾何學

簡介

任何過球心的平面都把它分成兩個相等的半球面。過球心的任何兩個相交平面都將球體細分為四個球面二角形，其頂點全部與位於平面交線上的對徑點重合。

球體的對徑商空間是實射影平面，它也可以被看作是北半球，赤道的對映點被確定。

有猜想認為半球是黎曼圓的最佳（最小面積）等長填充。

球面

球面是三維空間中完全圓形的幾何物體，它是圓球的表面。就像在二維空間中的圓的定義一樣，球面在數學上定義為三維空間中離給定的點距離相同的點的集合r。這個距離r是球的半徑，球（ball）則是由離給定點距離小於r的所有點構成的幾何體，而這個給定點就是球心。球的半徑和球心也是球面的半徑和中心。兩端都在球面上的最長線段通過球心，其長度是其半徑的兩倍；它是球面和球體的直徑。

儘管在數學之外，術語“球面”和“球”有時可互換使用，但在數學中是明確區分的：球面是一種嵌在三維歐幾里得空間內的二維封閉曲面，而球是一種三維圖形，其包括球面和球面內部的一切（閉球），不過更常見的定義是只包括球面內部的所有點，不包括球面上的點（開球）。這種區別並不總是保持不變，尤其是在舊的數學文獻里，sphere（球面）被當作固體。這與在平面上混用術語“圓”（circle）和“圓盤”（disk）的情況類似。

推廣

球面可以推廣到任意維數的空間。對於任意自然數n，n-球面（常寫為S）是(n+ 1)維歐幾里得空間中離該空間的一個中心點距離固定為r的點的集合，其中r與前面一樣是正實數。特別地：

• S0：0-球體是實線的區間[−r,r]的一對端點；
  
• S1：1-球面是半徑為r的圓；
  
• S2：2-球面是普通的球面；
  
• S3：3-球面是四維歐氏空間中的球面。
  

n> 2的球面有時稱作超球面 。以原點為中心的單位半徑n球面表示為S，通常稱為“n球面”。請注意，普通球面是一個2-球面，因為它是一個二維曲面（它嵌入在三維空間中）。單位(n-1)-球面的表面積是：

其中Γ(z)是歐拉發現的伽馬函式。

表面積的另一種表達式為：

體積等於表面積乘以rn，或者說：

對於n球的體積也存在一般遞歸公式。