費馬原理

費馬原理（Fermat's principle）最早由法國科學家皮埃爾·德·費馬在1662年提出：光傳播的路徑是光程取極值的路徑。這個極值可能是最大值、最小值，甚至是函式的拐點。 最初提出時，又名“最短時間原理”：光線傳播的路徑是需時最少的路徑。

費馬原理更正確的稱謂應是“平穩時間原理”：光沿著所需時間為平穩的路徑傳播。所謂的平穩是數學上的微分概念，可以理解為一階導數為零，它可以是極大值、極小值甚至是拐點。

基本介紹

• 中文名：費馬原理
• 外文名：Fermat's principle
• 學科領域：幾何光學
• 用途：光學、地震學

定義

過空間中兩定點的光，實際路徑總是光程（或者時間）最短。

費馬原理是幾何光學的基本定理。用微分或變分法可以從費馬原理導出以下三個幾何光學定律：

1. 光線在真空中的直線傳播。
2. 光的反射定律-光線在界面上的反射，入射角必須等於出射角。
3. 光的折射定律（斯涅爾定律）。

最短光時線可以有多條，例如光線從橢圓面焦點A經過反射到另一焦點B，可以有無數條路徑，所有這些路徑的光線傳播時間都相等。

光的反射

平面反射

光從P點出發射向x點，反射到Q點。

P點到x點的距離，Q點到x點的距離，從點P到點Q的光程D為

根據費馬原理，光線在真空中傳播的路徑是光程為極值的路徑。取光程對的導數，令其為零：

但其中：

即

半球面反射

球面的半徑=R，光線從直徑一端Q射向球面，反射到直徑另一端P，光程：

因：

所以：

根據費馬原理：

解之， 得，代入D得到：光程，乃是一個最大值=2.8R；（最小值光程是從直徑一端到Q另一端P，光程=2R）。

運動學

伯努利家族的約翰·伯努利在解決最速降線問題時曾利用到費馬原理。他將小球運動類比作光線的運動，從而得出最速降線為擺線。

參閱

• 費馬
• 哈密頓原理
• 最小作用量原理
• 路徑積分表述
• 惠更斯－菲涅耳原理