半有界運算元

簡介

半有界運算元是上半有界運算元和下半有界運算元的統稱。

設T是希爾伯特空間H上的稠定線性運算元，如果存在實數α，使得對於一切x∈𝓓(T)都有(Tx,x)≥α(x,x)（或(Tx,x)≤α(x,x)）成立，就稱T是下半（或上半）有界的。

如果α>0，則稱T為正定運算元（或如果α<0，則稱T為負定運算元），並稱α為T的下界（或上界）。

在數學中，線性映射（也叫做線性變換或線性運算元）是在兩個向量空間之間的函式，它保持向量加法和標量乘法的運算。術語“線性變換”特別常用，尤其是對從向量空間到自身的線性映射(自同態)。

在抽象代數中，線性映射是向量空間的同態，或在給定的域上的向量空間所構成的範疇中的態射。

(positive definite operator)

正定運算元是相應運算元方程可以化為變分問題的一類重要運算元。設H是實希爾伯特空間，D_A是H的一個線性稠密子集，A是D_A→H的線性(不必有界)運算元。如果A是對稱的，即：

且存在正常數γ，使：

則稱A為D_A上的正定運算元。對D_A上的正定運算元A，求運算元方程Au=f(f∈H)的解u可以化成求泛函：

取極小值的極值函式u的變分問題。