本質自伴運算元

本質自伴運算元（essentially self-adjoint operator）具有自伴擴張的對稱運算元。

基本介紹

• 中文名：本質自伴運算元
• 外文名：essentially self-adjoint operator
• 適用範圍：數理科學

簡介

本質自伴運算元具有自伴擴張的對稱運算元。

對稱運算元A為本質自伴的充分條件有（其中條件1也是必要的）：

1、n_-=n₊，其中(n_-=n₊)為A的虧指數；

2、A是半有界的，即存在實數r使對一切x∈𝓓(A)都有(Ax,x)≥r||x||。

3、A是實運算元，即存在H到H的反線性映射J（即滿足(Jx,Jy)=(y,x),J=I,JA=AJ）。

對稱運算元

設T是作用在希爾伯特空間H上的稠定運算元，如果對任意有。亦即，則稱T是對稱運算元。

每個對稱運算元都有閉的對稱擴張。如果對稱運算元T沒有真的對稱擴張，即若且S是對稱運算元一定有成立時，則稱T是極大對稱的（maximally symmetric ）。

在一定條件下，對稱運算元與等距運算元可通過凱萊變換相互轉化。

虧指數

虧指數是與對稱運算元有關的數對。

設A是復希爾伯特空間H中的對稱運算元，𝓡(A+iI)和𝓡(A-iI)稱為A的虧子空間，記n₊=dim𝓡(A+iI)，n_-=dim𝓡(A-iI)（這裡空間的維數指該空間中完備規範正交系的勢），稱數對(n₊,n_-)為A的虧指數。

A自伴的充分必要條件是n_-=n₊=0。

對稱運算元A具有自伴擴張的充分必要條件是n_-=n₊。