勒貝格可測集是實變函式論的重要概念之一，指勒貝格意義下可求“長度”、“面積”或“體積”的一類集合。
基本介紹
- 中文名：勒貝格可測集
- 外文名：Lebesgue measurable set
- 適用範圍：數理科學
簡介,點集的可測集,發展,
簡介
勒貝格可測集是實變函式論的重要概念之一，指勒貝格意義下可求“長度”、“面積”或“體積”的一類集合。
若m*為R上的(L)外測度，E⊂R且滿足卡拉西奧多條件，即對任意點集T⊂R，有
則稱集E為勒貝格可測集，簡稱(L)可測集。
點集的可測集
勒貝格可測集並不是勒貝格本人給出的。
勒貝格首先考慮直線上的點集，定義開區間(a,b)的測度為(a,b)的長度b-a:m((a,b))=b-a；再定義有界開集G的測度為G的構成區間的長度之和，即若
，(ak,bk)為G的構成區間，則
。
對有界閉集F⊂(a,b)，令G=(a,b)\F，定義F的測度為m(F)=(b-a)-m(G)，m(F)與區間(a,b)的選擇無關；
對一般的有界點集E，把所有包含E的有界開集的測度的下確界稱為E的外測度，記為m*(E)，即m*(E)=inf{m(G)|G為開集且G⊃E}；把所有包含E的有界開集的測度的上確界稱為E的（勒貝格）內測度，記為m*(E)或|E|i，即m*(E)=sup{m(F)|F為閉集且F⊃E}；顯然，m*(E)≤m*(E)；若m*(E)=m*(E)，則稱E為可測集，它的外測度與內測度所具有的共同值稱為E的測度，記為m(E)=m，(E)=m*(E)。
若E為無界集，且它與任何有界開區間的交是可測集，則稱E是可測集，其測度定義為
其中{Ik}為遞增開區間列，且
，而且m(E)可能為+∞。
以上關於R中點集的可測集與測度的概念可以推廣到R中的點集上去，而且這種推廣並無實質性的困難。
發展
勒貝格可測集與測度的優點是自然、直觀，然而定義中使用了內測度與外測度，這樣，使用起來很不方便。因此人們希望尋求一個比較簡潔的等價定義。
通過對外測度的深入研究，卡拉西奧多里於1914年給出了前面所述的可測集的定義，這個定義與勒貝格的定義是等價的，而且後來成為建立抽象測度論的有力工具。
