勒貝格可測集

勒貝格可測集是實變函式論的重要概念之一,指勒貝格意義下可求“長度”、“面積”或“體積”的一類集合。

基本介紹

  • 中文名:勒貝格可測集
  • 外文名:Lebesgue measurable set
  • 適用範圍:數理科學
簡介,點集的可測集,發展,

簡介

勒貝格可測集是實變函式論的重要概念之一,指勒貝格意義下可求“長度”、“面積”或“體積”的一類集合。
若m*為R上的(L)外測度,E⊂R且滿足卡拉西奧多條件,即對任意點集T⊂R,有
則稱集E為勒貝格可測集,簡稱(L)可測集。

點集的可測集

勒貝格可測集並不是勒貝格本人給出的。
勒貝格首先考慮直線上的點集,定義開區間(a,b)的測度為(a,b)的長度b-a:m((a,b))=b-a;再定義有界開集G的測度為G的構成區間的長度之和,即若
,(ak,bk)為G的構成區間,則
對有界閉集F⊂(a,b),令G=(a,b)\F,定義F的測度為m(F)=(b-a)-m(G),m(F)與區間(a,b)的選擇無關;
對一般的有界點集E,把所有包含E的有界開集的測度的下確界稱為E的外測度,記為m*(E),即m*(E)=inf{m(G)|G為開集且G⊃E};把所有包含E的有界開集的測度的上確界稱為E的(勒貝格)內測度,記為m*(E)或|E|i,即m*(E)=sup{m(F)|F為閉集且F⊃E};顯然,m*(E)≤m*(E);若m*(E)=m*(E),則稱E為可測集,它的外測度與內測度所具有的共同值稱為E的測度,記為m(E)=m,(E)=m*(E)。
若E為無界集,且它與任何有界開區間的交是可測集,則稱E是可測集,其測度定義為
其中{Ik}為遞增開區間列,且
,而且m(E)可能為+∞。
以上關於R中點集的可測集與測度的概念可以推廣到R中的點集上去,而且這種推廣並無實質性的困難。

發展

勒貝格可測集與測度的優點是自然、直觀,然而定義中使用了內測度與外測度,這樣,使用起來很不方便。因此人們希望尋求一個比較簡潔的等價定義。
通過對外測度的深入研究,卡拉西奧多里於1914年給出了前面所述的可測集的定義,這個定義與勒貝格的定義是等價的,而且後來成為建立抽象測度論的有力工具。

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