《具有分數擴散的多孔介質方程解的研究》是依託電子科技大學,由向昭銀擔任醒目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：具有分數擴散的多孔介質方程解的研究
- 依託單位：電子科技大學
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：向昭銀
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
由於具有分數擴散的多孔介質方程在數學理論和物理實際等方面都極其重要，所以最近包括Caffarelli和Vazquez等在內的許多著名數學家都對這些方程給予了極大的關注。.在本課題中，我們主要利用拋物與橢圓型偏微分方程的現代理論和調和分析技巧等研究具有分數擴散的多孔介質方程解的長時間漸近行為、正則性等問題，並對具有對流項的分數擴散多孔介質方程，研究其弱解的整體存在性以及在臨界和超臨界情形強解的爆破準則等。.通過對這些熱點問題和尚未完全解決的公開問題進行研究，我們希望在未來幾年內能夠取得在國內外具有一定影響的成果，並促進我們這個年輕隊伍的學術成長以及研究生培養，為以後更深入的工作奠定基礎。
結題摘要
本項目主要利用拋物（橢圓）型偏微分方程的現代理論和調和分析技巧等研究了在流體力學、生物數學等領域中提出的具有分數擴散的多孔介質方程及相關模型的數學理論，重點研究了這些方程解的整體存在與有限時刻爆破、正則性準則、衰減估計和自由邊界等。通過三年的研究，主要取得了如下幾方面的研究成果： (1) 利用能量方法和正則化理論建立了具有流體項或非線性趨化的多孔介質方程解的整體存在性； (2) 給出了非齊次介質中多孔介質型拋物方程自由邊界的漸近行為，特別是給出了臨界情形的刻畫； (3) 利用各向異性的Besov空間技巧建立了不具有磁擴散的 MHD 方程小初值經典解的整體存在性與衰減估計； (4) 利用Littlewood-Payley分解建立了具有分數階擴散的 Boussinesq 方程解的全局正則性； (5) 利用能量方法和Littlewood-Payley分解等技巧系統地研究了具有兩分量的高維Euler-Poincare方程的適定性。 基於這些研究成果，項目負責人已在 J. Funct. Anal.、Int. Math. Res. Not.、Disc. Cont. Dyn. Sys.-A、IMA J. Appl. Math.等期刊發表相關學術論文11篇（另投稿8篇）。這些研究內容是當前偏微分方程研究中的前沿和熱點問題，在數學理論和套用科學中都具有重要意義，相關的研究成果得到了國內外同行的高度評價和廣泛引用。
