基本介紹
- 中文名：內插定理
- 外文名：interpolation theorem
- 提出者：M.Rierz
- 提出時間：1926年
- 適用領域：套用泛函分析
- 套用學科：數學
簡介,定律定義,發展簡史,套用領域,
簡介
線性運算元第一個內插定理是M.Rierz在1926年作為雙線性形式的不等式得出的，Thorin於1948年給出了它的明確說明及一般形式：設
，若線性運算元T是
型與弱
型的，則T必是
型的。
M. Riesz-Thorin內插定理有許多推廣與改善，其中最深刻的一個是1939年Marcinkiewicz提出的關於較弱類型次線性運算元的內插定理：設 ，若次線性運算元T是弱 型與弱 型的，則T必是 型的。這個定理直到1956年由Zygmund重新證明與套用時，大家才廣泛明白它的真正意義。
抽象Hilbert空間與Banach空間內插理論的第一批成果是Lions，Gagliardo，Calderon與Крейн在1958～ 1964年完成的。在他們開創性工作以後的六、七十年代，Peetre的工作起著重要的作用。構造和研究內插空間的複方法，實方法與標度方法是其最重要的成果。而八十年代完成的軌道方法主要歸功於Овчинников。線性運算元內插法與內插空間理論是泛函分析學科的一個新的研究領域，它的生命力不僅表現在自身理論的不斷深化，而且表現在在其他眾多學科分支的廣泛套用。
定律定義
內插定理(interpolation theorem)模型論的基本定理之一，線性運算元第一個內插定理是M.Rierz在1926年作為雙線性形式的不等式得出的，Thorin於1948年給出了它的明確說明及一般形式：設1≤ p1<p <p2，若線性運算元T是 型與弱 型的，則T必是 型的。內插定理具有許多衍生公式與套用，下面介紹一個基本內插定理：
推得出x∈E且
。 這一描述 與 間的所有內插空間的基本定理是A.G.Calderon證明的。在這以前，對於Orilcz空間中的積分運算元是W·Orlicz證明的，對於可易不變空間中的積分運算元是G.G·Lorontz證的，對可分空間或者可分對稱空間的共輛空間中的任意運算元是U.C.MoTHroH證明的,FE.Browdor得出了能由線性運算元的內插定理得出iLpshcitz運算元的內插定理的一般定理，而滿足LIsPhitz條件的非線性運算元的情況下定理更是普遍成立的。
基本內插定理的條件可以簡單陳述為:由y∈E，x∈ + ，及k(t,x)≤k(t,y)，推得出x∈E且 ，其中k(t,x)表示 + 上的泛函。
發展簡史
線性運算元第一個內插定理是M.Rierz在1926年作為雙線性形式的不等式得出的，Thorin於1948年給出了它的明確說明及一般形式：設 ，若線性運算元T是 型與弱 型的，則T必是 型的。
M. Riesz-Thorin內插定理有許多推廣與改善，其中最深刻的一個是1939年Marcinkiewicz提出的關於較弱類型次線性運算元的內插定理：設 ，若線性運算元T是弱 型與弱 型的，則T必是 型的。這個定理直到1956年由Zygmund重新證明與套用時，大家才廣泛明白它的真正意義。
1966年Красноселский,Забрейко，Пустылъник，Соболевский 的專著《Интc грал ъныеопc раторы в п рост ранствах суммируcмых функций》系統研究了線性與非線性積分運算元。論述了關於積分運算元連續性和全連續性內插性質的各種定理。建立了各類積分運算元的連續性，全連續性，可微性等一般判別法則。
六十年代Peetre最先把運算元內插理論套用到函式逼近，1969年他套用實內插方法得到的不等式給出了連續模最佳逼近的精確估計。
1971年Stein給出關於解析運算元族的內插定理。1992～ 1993年，江寅生，陸善鎮把此內插定理套用於1979年fefferman引進的一類Calderon-Zygmund奇異積分的推廣形式。
1972年Sagher把對稱空間內插定理的主要結果套用到錐上與具有正係數的Fourier級數研究方面，得到具有擬范係數的Fourier級數收斂性的條件。
1976年Cleaver對滿足
條件的N函式M(u)所成Orlisz空間
，利用Rao與Cleaver給出的Orlisz空間的內插定理，得到了賦Orlisz範數的裝球常數的一個範圍,它包含了關於
裝球常數的結果。
1976年Bergh與Lofstrom關於內插空間理論的第一本專著《 Ienterpolation Spaces》最後一章專門論述內插方法在逼近理論領域的套用,得到逼近空間與用實內插方法構造的內插空間的關係定理。
1977～ 1978年Beauzamy找到了套用實內插方法建立的空間自反的準則。
1982年Овчинников，Распопово，Родин藉助於內插方法得到了可和函式Fourier係數的精確估計。
1985年任重道證明了Cleaver給出的內插不等式對Luxemburg範數也正確,並且估計了賦Luxemburg範數的Orlisz空間的裝球常數。
1986年陳廣榮，孟伯秦得出Ba空間的內插定理。套用這個結果，1996年吳嘎日迪得到Ba空間中多項式逼近的jackson定理，1999年吳嘎日迪，陳廣榮得到Ba空間中導數型的Jackson定理。
1992年陸善鎮在其專著《 Hp空間實變理論及其套用》第二章§ 5、§ 6兩節詳細論述了Marcinkiewicz內插定理在Hp空間的拓廣與Hp的內插空間，最後兩章羅列了在Fourier分析與逼近理論中的套用。
1994年任重道利用關於Orlisz空間的兩個內插不等式以及給出的第三個內插不等式討論了四類Orlisz空是的裝球常數。
套用領域
內插空間與內插定理這一泛函分析發展出來的新的研究領域有著廣泛的套用。在數學學科的其它許多分支中也有很多廣泛的套用。例如在函式空間理論領域、常微分與偏微分運算元理論領域、Banach空間的逼近理論領域、積分不等式與奇異積分理論領域和Fourier變換領域具有大量廣泛的套用。
