運算元內插，證明運算元有界性的一種數學方法。如果運算元T是Lp到Lq的有界運算元，即對所有的f∈Lp，有Tf∈Lq，且滿足 式中 M是 運算元的界，與 f無關，就稱 T是強( p， q)型的。最早也是最典型的 運算元 內插定理是里斯-索林定理。
基本介紹
- 中文名：運算元內插
- 所屬學科：數學
里斯－索林定理 如果線性運算元T同時是強(p1，q1)和強(p2，q2)型的，其中1≤pj≤∞，1≤qj≤∞(j=1，2)，即 則對所有滿足 (1) 的 p和 q， T是強( p， q)型的，即 並且 M， M 1， M 2之間滿足不等式 。 可以從幾何上來看定理中p，q和pj，qj的關係。記 則α 1、α 2表示區間[0，1]上的兩點，α在α 1，α 2之間，構想 β是α 的函式，在α 1時取值 β 1，在α 2時取值 β 2，問 β在α點取什麼值？關係式(1)表明 β的值恰好等於在(α 1， β 1)和(α 2， β 2)作線性 內插時的線性函式在α 取的值(圖 1 )。這就是 運算元 內插這個名稱的由來。 里斯-索林定理說明，要證明一個線性運算元T是Lp到Lq有界的，只須驗證T同時是L 到 L 和 L 到 L 有界的。也就是說，要得到 T是強 型的，只需驗證 T線上段的兩個端點具有相應的型，即同時是強 型和強 型就可以了。 下面通過一個典型例子來看如何套用這種運算元內插的方法。 豪斯多夫－楊定理 設皚是f的傅立葉變換，即 ， 則 ， 式中 。 從運算元內插的觀點來看這個定理，就顯得比較簡單。事實上，取p1=2，q1=2，這時不等式 是帕舍伐爾等式的推論。取 p 2=1， q 2=∞，這時顯然有 。用里斯-索林定理便得所要證的結果（圖 2 ）。如果不用 運算元 內插，這定理的證明就困難得多。 里斯-索林定理的條件可以減弱。首先，線性運算元的條件可用次可加性代替，所謂次可加性是指對任意的f，g，皆有 其次，更重要的是定理的強型條件可以用下面的弱型條件代替。稱 T是弱( p， q)型的(1≤ q＜∞)，如果存在常數 C，使得對任意的 f∈ L p和任意的實數 λ＞0，有不等式 成立，式中 m表示勒貝格測度。如果 q=∞，則弱( p， q)型用強( p， q)型定義。不難證明，強( p， q)型的 運算元一定是弱( p， q)型的。這樣代替以後， p， q的限制要多一些，這可以敘述為下面的另一個十分基本的 內插定理。 馬欽凱維奇內插定理 如果次可加運算元T同時是弱(p1，q1)型和弱(p2，q2)型的，即 式中1≤ p 1≤ q 1≤∞，1≤ p 2≤ q 2≤∞， p 1＜ p 2， q 1≠ q 2，則對所有滿足 的( p， q)， T是強( p， q)型的，即 調和分析中的許多重要運算元，如哈代-李特爾伍德極大函式，奇異積分運算元等的強(p，p)型（1＜p＜∞），都是用馬欽凱維奇內插定理證明的。 除上述兩個定理外，還有許多其他類型的運算元內插定理。近代的運算元內插理論，已經從Lp空間推廣到其他許多的空間，例如索伯列夫空間、Hp空間、別索夫空間等等。 運算元內插的方法不僅在調和分析，還在泛函分析、偏微分方程的理論中有許多套用。
