偏微分方程的基本解，偏微分方程的一種具有特定奇異性的解，由它可以構造出一般的解。例如對於二維和三維拉普拉斯方程的基本解 可用來構造出該 方程 的“通解”以及格林函式（見 橢圓型偏微分方程）。對於三維 的波動 方程和熱傳導 方程，它 的 基本 解 也有類似 的作用（見 雙曲型偏微分方程、 拋物型偏微分方程）。
基本介紹
- 中文名：偏微分方程的基本解
- 定義：偏微分方程的一種具有特定奇異性的解
- 所屬學科：數學
J.（-S.）阿達馬對二階線性偏敬潤狼微分方程 在解析茅乘再係數與非拋物（即det( α ij)≠0） 的條件，作出了以下形狀 的 基本 解 ， 式中 U、 V、 W是 ， 的解析函式，Г是 p與 p 0在度量 下 的測地距離 的平方， 廣義函式是研究基本解的有力工具。線性偏微分運算元l的基本解即適合下式的廣義函式E（p，p0）：l(E)=δ(p-p0)，δ是狄喇克函式。當l為常係數運算元充坑陵時，E(p，p0)=E(p-p0)。若能作嘗體出E，則l(u)=f將有解u=E*f：l(E*f)=l(E)*f=δ*f=f。 對常係數偏微分運算元l，利用傅立葉懂糊循鑽變換可形式地作出基本解 這裡根本 的困難是 l( ξ) 的零點將使該積分發散。20世紀50年代中期，L.赫爾曼德爾、B.馬爾格朗熱與L.埃倫普雷斯獨立克服了這個困難，證明了常係數線性 偏微分運算元 基本 解 的存在。這是 偏微分櫃虹榆方程論 的重大進展。 對變係數線性偏微分運算元，則有必要將基煮朽烏組本解概念推廣為擬基本解。在構造擬基本解並研究其性質與套用方面，擬微分運算元與傅立葉積分運算元有著根本的作用。
