主叢

主叢簡記為P(M,G)或P。

基本介紹

• 中文名：主叢
• 外文名：principal bundle
• 所屬學科：纖維叢理論
• 本質：叢流形的流形P
• 簡稱：主叢
• 簡記：P(M,G)或P

定義

定義1

若纖維叢π:P→M的纖維及結構群均為拓撲群G，底空間M為仿緊豪斯多夫空間，全空間P為仿射G空間，且G在纖維上有連續自由右作用，使得對每個叢坐標卡(π(U),(π,φ))，其中φ:(U)→G為G等變映射，則稱該纖維叢為主叢。

定義2

主叢由一個全空間P，一個底空間M和一個叫結構群的拓撲群G組成，滿足以下要求：

（a）G在P上有連續自由右作用R: P×G→P；

（b）存在連續滿射π:P→M，滿足π[π(p)]={pg|g∈G}, p∈P；（實際上就是要求任一點p∈P的投影上方的纖維等於右作用R過點p的軌道）

（c）M中每點x有開鄰域U及同胚h_U:π[U]→U×G定義為 h_U(p)=(π(p), γ_U(p)),p∈π[U]，

其中γ_U: π[U]→G為G等變映射，即滿足γ_U(pg)=γ_U(p)g,g∈G。

性質

B為商空間P/G。

相關概念

X上主G叢的等價類記為Prin_G(X)。

例子

標架叢為主叢，纖維為一般線性群GL(n)。

定向標架叢為主叢，纖維為正一般線性群GL(n)。

黎曼流形M的標架叢為主叢，纖維為正交群O(n)。

黎曼流形M的定向標架叢為主叢，纖維為特殊正交群SO(n)。