基本介紹
- 中文名:切標架叢
- 外文名:Tangent frame bundle
- 領域:數學
標架叢,定義與構造,切標架叢,光滑標架,焊接形式,G-結構,
標架叢
數學中,標架叢(Frame bundle)是一個與任何向量叢E相伴的主叢。F(E) 在一點x的纖維是Ex的所有有序基或曰標架。一般線性群通過基變更自然作用在 F(E) 上,給出標架叢一個主 GLk(R)-叢結構,這裡k是E的秩。
一個光滑流形的標架叢是與其切叢相伴的叢。因此它有經常稱為切標架叢(tangent frame bundle)。
定義與構造
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GLk(R) 在Fx上這個作用是自由傳遞的(這是標準線性代數結論:存在惟一可逆線性變換將一個基變為另一個)。作為一個拓撲空間Fx同胚於 GLk(R),但它沒有群結構,因為沒有“優先的標架”。空間Fx稱為一個 GLk(R)-torsor。
E的標架叢,記作 F(E) 或 FGL(E),是所有Fx的不交並:
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F(E) 中每個點是一個二元組 (x,p),其中x是X中一點而p是x處一個標架。存在自然投影π: F(E) →X將 (x,p) 送到x。群 GLk(R) 如上右作用在 F(E) 上。這個作用顯然是自由重重晚遙的且軌道恰是π的纖維。
標架叢 F(E) 可給一個自然的拓撲,其叢結構由E確定。設 (Ui,φi) 是E的一個局部平凡化。則對每個x∈Ui有一個線性同構φi,x:Ex→R。這個數據決定了一個雙射
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有了這個雙射後,每個π(Ui) 可賦予Ui× GLk(R) 的拓撲。則 F(E) 上的拓撲是由包含映射π(Ui) → F(E) 余誘導的最終拓撲。
上面所有工作對光滑範疇也成立:如果E是光滑流形M上一個光滑向量叢,則E的標架叢可賦予M上光滑主叢結構。
切標架叢
一個光滑流形M的切標架叢(或簡稱標架叢)是與M的陵享槓棗切叢相伴的標架叢。M的標架叢通常記作 FM或 GL(M) 而不是 F(TM)。如果M是n-維的則切叢的秩為n,所以M的標架叢是M上一個主 GLn(R) 叢。
光滑標架
M的標架叢的局部截面稱為M上的光滑標架。主叢橫截定理說M中任何有光滑標架的開集U上標架叢是平凡的。給定一個光滑標架s:U→ FU,平凡化ψ: FU→U× GLn(R) 由
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因為M的切叢在M的任何坐標鄰域是可平凡化的,故標架叢也是。事實上,給定任何坐標鄰域U帶有坐標 (x,…,x),坐標向量場
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焊接形式
流形M的標架叢是一類特殊的主叢,它的幾何本質上繫於M的幾何。這種關係可用 FM上一個稱之為焊接形式(或稱基本或重言1-形式)向量值 1-形式表示。設x是流形M上一點,p是x處一個標架,故
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G-結構
參見:G-結構
如果光滑流形M有額外的結構,通常自然地考慮M全標架叢的一個適應於給定結構的子叢。例如,如果M是一個黎曼流形,我們從上面看到自然地去考慮M的標準正交標架叢。標準正交標架叢只不過是 FGL(M) 的結構群到正交群 O(n) 的約化。
一般地,如果M是一個光滑n-流形,G是 GLn(R) 的一個子李群,我們定義M上一個G-結構為 FGL(M) 結構群到G的一個約化。具體地說,這是M上一個主G-叢 FG(M),以及M上一個G-等變叢映射
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在這種語言中,M上一個黎曼度量給出M上一個 O(n)-結構。下面是其它一些例子。