基本介紹
- 中文名：不可約多項式
- 外文名：irreducible polynomial
- 套用：數學
- 本質：代數式
概念,判定,定理1,定理2,性質,證明,套用,
概念
不可約多項式，顧名思義即不能寫成兩個次數較低的多項式之乘積的多項式。
有理係數的多項式，當不能分解為兩個次數大於零的有理系靈敏多項式的乘積時，稱為有理數範圍內“不可約多項式”。相應地可以定義實數係數或複數係數的不可約多項式。
“不可約”的意義隨係數範圍而不同。X2-2在有理數範圍內是不可約多項式，但在實數範圍內就是可約多項式了。
一種重要的多項式。它在多項式環中有類似於素數在整數環中的地位。對於數域P上的任意多項式f(x)，P中非零數c與cf(x)總是f(x)的因式。這兩種因式稱為f(x)的平凡因式，亦稱當然因式。其他的因式，稱為f(x)的非平凡因式，亦稱非當然因式。設p(x)為P上的一個次數大於零的多項式，如果在P上p(x)只有平凡因式，則稱p(x)在P上(或P[x]中)不可約，亦稱p(x)是P上的不可約多項式，或既約多項式;如果p(x)除平凡因式外，在P上還有其他因式，則稱p(x)在P上(或在P[x]中)可約，亦稱p(x)是P上的可約多項式。一個多項式是否可約，與其基域有關。例如，x-2在有理數域上不可約，但在實數域上可約，因為此時它有非平凡因式x+與x-。
數域P上的不可約多項式有如下的基本性質：
1。若p(x)不可約，且c≠0，c∈P，則cp(x)也不可約。
2。若p(x)不可約，f(x)是任一多項式，則(p(x)，f(x))=1或者p(x)|f(x)。
3。若p(x)不可約，且p(x)|f(x)g(x)，則p(x)|f(x)或者p(x)|g(x)。
判定
定理1
愛森斯坦判別法：設
是整係數多項式，若有一個素數p使得：
（1）p不能整除a
（2）p整除
（3）
不能整出
那么
在有理數域上不可約。
註：定理1的證明通常採用 “反證法”
定理2
愛森斯坦判別法的等價判別定理：設 是整係數多項式，若有一個素數p使得：
（1）p不能整除
（2）p整除
（3） 不能整出
那么f(x)在有理數域上不可約。
註：定理1和定理2 都只是判定整係數多項式在有理數域上不可約的充分不必要條件， 這就是說不滿足定理1和定理2的判定條件的多項式可能是不可約的。
性質
1、
不可約，則對任意
。
2、 不可約，則對任意的非零c∈p，c 不可約。
3、（1） p(x)不可約，則對任意的f，g∈
，
，得到
或
。
（2）аp>0，對任意f，g∈ ， 可推出得到 或 ，得到p是不可約多項式。
證明
例1。若p為質數，求證有理係數多項式
在有理數域上不可約。
證明：
是整係數多項式
因為P為質數，整係數多項式 符合愛森斯坦判別法，所以整係數多項式 在整數環上不可約，即整係數多項式 在有理數域上不可約。由此可得多項式 在有理數域上不可約。
套用
若m，n為自然數，且m，求證不是任意m次整係數多項式的根。
證明：根據愛森斯坦判別法可知，多項式
是一個在有理數域上不可約n次多項式，且是多項式
的根。
因為
，則對任意的m次多項式g（x），總有多項式f（x），g（x）互素；
即多項式f（x），g（x）沒有公共根，所以
不是任意m次多項式的根（）。
