設p(x) 為不可約多項式. 如果f(x)能被p(x) 的k次方整除而p（x）的k+1次方不能, 則稱p(x) 是 f(x)的k 重因式.
基本介紹
- 中文名：重因式
定義,定理,注意,
定義
設p(x) 為不可約多項式. 如果f(x)能被p(x) 的k次方整除而p（x）的k+1次方不能, 則稱p(x) 是 f(x)的k 重因式.
若k=0, 則p(x) 不是f(x) 的因式.
若k=1, 則稱 p(x) 是f(x) 的單因式.
若k>1, 則稱 p(x) 是f(x) 的重因式.
也可以定義高階微商的概念, 一階微商f'(x) 的微商稱為f(x) 的二階微商, 記為f''(x). 一般地,f(x) 的k 階微商定義為f(x) 的k-1 階微商的微商:
定理
如果不可約多項式p(x) 是f(x) 的k 重因式（k≥1), 那么它是f'(x) 的k-1 重因式.
注意
該定理的逆定理一般不成立
推論 1
如果不可約多項式p(x) 是f(x) 的k (k≥1)重因式, 那么p(x) 分別是f'(x),f''(x)...f(k-1)(x) 的 k-1,k-2,...,1 重因式, 但不是f(k)（x） 的因式.
推論 2
不可約多項式p(x) 是f(x) 的重因式的充分必要條件是p(x) 為f(x) 與 f'(x)的公因式.
推論 3
多項式 f(x)沒有重因式的充分必要條件是(f(x),f'(x))=1.即fx和f‘x互素
g(x)=f(x)/(f(x),f'(x))是一個沒有重因式的且與 f(x)具有完全相同的不可約因式的多項式, 這種多項式很有用.
重因式的判定
定理1 設p(x)是f(x)的k(k≥1)重因式,那么p(x)是f'(x)的k-1重因式.
證明: 設f(x)=pk
(x)g(x),p(x) 不整除g(x),則
f'(x)=kpk-1(x)p'(x)g(x)+pk(x)g'(x) = pk-1(x)[kp'(x)g(x)+p(x)g'(x)]
這裡p(x)| p(x)g'(x),但p(x) 不整除kp'(x)g(x),
注意
該定理的逆定理一般不成立
