可約多項式(reducible polynomial)一種特殊的多項式.指有非平凡因式的多項式。首先，多項式(polynomial)是指由變數、係數以及它們之間的加、減、乘、冪運算(非負整數次方)得到的表達式。可約多項式即這種表達是可以繼續簡化，沒有簡化到最簡形。
基本介紹
- 中文名：可約多項式
- 外文名：reducible polynomial
- 學科：數學
- 本質：代數式
定義,判定,定理1,定理2,定理3,性質,相關,
定義
設
是域P上的一個n次多項式，若在P上存在次數小於n的非常數多項式
與
，使
= ，則 稱為域P上的可約多項式，簡稱在P上可約；否則 稱為P上的可約多項式，或稱為P上的既約多項式，簡稱在P上可約。一元多項式的可約概念亦可推廣到n元多項式。
判定
定理1
若n次整數多項式
在有理數域Q上可約，則
在整數環Z上一定可約。
定理2
愛森斯坦判別法：設
是整係數多項式，若有一個素數p使得：
（1）p不能整除a
（2）p整除
（3）
不能整除
那么
在有理數域上不可約。
定理3
愛森斯坦判別法的等價判別定理：設是整係數多項式，若有一個素數p使得：
（1）p不能整除
（2）p整除
（3）
不能整除
那么f(x)在有理數域上不可約。
註：定理1和定理2 都只是判定整係數多項式在有理數域上不可約的充分不必要條件， 這就是說不滿足定理1和定理2的判定條件的多項式也可能是不可約的。
性質
可約多項式，顧名思義即能寫成兩個次數較低的多項式之乘積的多項式。
有理係數的多項式，當能分解為兩個次數大於零的有理系靈敏多項式的乘積時，稱為有理數範圍內“可約多項式”。相應地可以定義實數係數或複數係數的可約多項式。
“可約”的意義隨係數範圍而不同。
在有理數範圍內是可約多項式，但在實數範圍內就是不可約多項式了。
對於數域P上的任意多項式f(x),P中非零數c與f(x)總是f(x)的因式.這兩種因式稱為f(x)的平凡因式，亦稱當然因式.其他的因式，稱為f(x)的非平凡因式，亦稱非當然因式.設p(x)為P上的一個次數大於零的多項式，如果在P上p(x)只有平凡因式，則稱p(x)在P上（或P{x}中）可約，亦稱p(x)是P上的可約多項式，或既約多項式;如果p(x)除平凡因式外，在P上還有其他因式，則稱p(x)在P上（或在P{x]中）可約，亦稱p(x)是P上的可約多項式一個多項式是否可約，與其基域有關.
一種重要的多項式。它在多項式環中有類似於素數在整數環中的地位。對於數域P上的任意多項式f(x)，P中非零數c與cf(x)總是f(x)的因式。這兩種因式稱為f(x)的平凡因式，亦稱當然因式。其他的因式，稱為f(x)的非平凡因式，亦稱非當然因式。設p(x)為P上的一個次數大於零的多項式，如果在P上p(x)只有平凡因式，則稱p(x)在P上（或P[x]中）可約，亦稱p(x)是P上的可約多項式，或既約多項式;如果p(x)除平凡因式外，在P上還有其他因式，則稱p(x)在P上（或在P[x]中）可約，亦稱p(x)是P上的可約多項式。一個多項式是否可約，與其基域有關。例如，x-2在有理數域上可約，但在實數域上可約，因為此時它有非平凡因式x+與x-。
相關
可約的概念滲透到數學的各個分支， 它在不同的分支中有不同的表現形式。與可約概念相對的就是不可約。
在環論中， 一個元素稱為可約的， 如果它落在某個主理想中， 並且它不能生成這個理想。 不可約元 不一定是素元 。
在幾何中，如果一個幾何物體在一定條件下分解成一些"較小"的幾何物體的並集， 就稱它為可約的。
特別的， 一條曲線 （代數曲線）稱為可約的， 如果它是由一些曲線共同組成的。任何曲線都可以僅分解成一些不可約曲線 的並。 這些不可約曲線的個數， 成為它的第二貝蒂數 （Betti）。
在拓撲里， 不連通 集必定是可約的。
所有這些可約的定義都是一致的、相容的。 它只不過是用不同的語言來描述而已。
在數學中，多項式是指由變數、係數以及它們之間的加、減、乘、冪運算（非負整數次方）得到的表達式。
對於比較廣義的定義，1個或0個單項式的和也算多項式。按這個定義，多項式就是整式。實際上，還沒有一個只對狹義多項式起作用，對單項式不起作用的定理。0作為多項式時，次數定義為負無窮大（或0）。單項式和多項式統稱為整式。
