《三角範疇中撓理論與傾斜理論》是依託湖南師範大學，由歐陽柏玉擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：三角範疇中撓理論與傾斜理論
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：歐陽柏玉
- 依託單位：湖南師範大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
三角範疇中撓理論與傾斜理論是代數表示論關注的前沿熱點問題之一。 本項目主要內容為：(一) 三角範疇上三類rigid對象（子範疇）的研究。 包括 cluster傾斜對象（子範疇）、極大的rigid 對象（子範疇）和完全的 rigid對象（ 子範疇）的存在性； 它們的性質與相互關係； cluster傾斜對象與Auslander-Reiten對應 的關係 。(二) 三角範疇上撓理論的研究。包括各種撓對的性質與構建方法；經典撓理論的三角形式與結構； 各種撓對確定的mutations對的性質與構造 。（三） CY三角範疇上傾斜理論的研究。包括傾斜子範疇的性質與結構；撓理論與傾斜理論的互相關係； 在傾斜代數上傾斜模的Auslander-Reiten對應；傾斜代數上傾斜模與導出等價的關係。該項目的研究將豐富與發展三角範疇中撓理論與傾斜理論， 並為一些重要的代數結構的研究提供新的思想與方法。
結題摘要
本項目歷時四年，在這四年時間裡，項目組圍繞“三角範疇中撓理論與傾斜理論”做了大量的卓有成效的工作，在“Journal of Algebra” 等國際著名刊物發表了10篇SCI論文， 基本上完成了項目申請書提出的研究目標，達到了預期的效果。 1. 我們研究並證明了2009年由著名代數表示論學家Buan-Iyama-Reiten -Scott 等人提出了的一個猜想．2. 我們研究並且證明了2014年由著名代數表示論學家Sam 和Snowden 提出的一個開問題。 3． 我們在三角範疇的torsion 理論，mutation對, 傾斜理論和三角穩定範疇等方面作了系列工作． 在三角範疇中, 我們利用mutation對, 刻畫了三角子商範疇再構成三角範疇的條件. 在穩定三角範疇中, 我們給出了子商範疇對構成撓偶(torsion pair)的條件. 同時，我們利用Auslander–Reiten 變換, 刻畫了子商範疇對構成撓偶（torsion pair） 的條件.在Abel範疇中, 我們引進了子範疇的mutation 對的概念.給出了子商範疇也是一個三角範疇的條件,同時給出了子商範疇有一個 Serre 函子的條件. 定義了子範疇的D-mutation 對的概念。 當(Z,Z) 是Abel 範疇 A中一個 D-mutation 對， 我們證明其商範疇Z/D自然的導出了一個三角結構。我們的結果推廣了由 Happel給出的商三角範疇的結構. 並且給出了Abel 範疇 A中cotorsion 對與商範疇Z/D中cotorsion 對的一一對應，研究了mutation 對中子範疇的同調有限性。 4．我們在相對同調方面做了一些工作． 我們知道一個環R是左Noetherian若且唯若每個左R-模有一個內射（預）蓋． 我們把這個結果推廣到相對疑聚環與相對內射蓋的情形． 由此得給出了一些經典環的刻畫． 我們推廣了由Auslander-Solberg引進了有限生成的傾斜模和余傾斜模, 引進了無限生成的Gorenstein 傾斜模和余傾斜模. 給出了相對Gorenstein 傾斜模和余傾斜模的刻畫. 我們引進了強FP-內射的概念。利用強FP-內射模,我們對 (預)包絡和（預）覆蓋強進行了研究, 並且刻畫了凝聚環。
