《Wakamatsu傾斜理論與同調不變數》是依託南京大學，由黃兆泳擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：Wakamatsu傾斜理論與同調不變數
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：黃兆泳
- 依託單位：南京大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
相對於Wakamatsu傾斜雙模C，引入模的（伴隨）余轉置和（伴隨）余撓自由模等概念。利用逼近理論和模的余級數的性質建立C-余撓自由模（伴隨C-余撓自由模）與C-投射余合沖模（C-內射合沖模）之間的聯繫，給出M. Auslander和M. Bridger經典的球面逼近定理和Cohen-Macaulay逼近定理的對偶形式。研究Bass類（Auslander類）與C-余撓自由模類（伴隨C-余撓自由模類）之間的關係。用（伴隨）C-余撓自由模的性質給出C的左、右投射維數是有限的等價刻畫，並研究與C相關的相對同調維數的性質以及它們與C的內射維數和投射維數之間的關係。在這些工作的基礎上，研究Wakamatsu傾斜猜想和Gorenstein投射猜想。研究Auslander（正則）代數的表示維數，確定其上界。爭取在這些問題的研究中取得本質性的進展，這將在同調代數和代數表示論中具有重要的理論意義。
結題摘要
相對於Wakamatsu傾斜雙模ω，引入了模的伴隨余轉置和伴隨余撓自由模等概念。利用逼近理論和模的余級數的性質建立了ω-余撓自由模（伴隨ω-余撓自由模）與ω-投射余合沖模（ω-內射合沖模）之間的聯繫，給出了經典的Auslander-Bridger逼近定理的對偶形式。研究了Bass類（Auslander類）與ω-余撓自由模類（伴隨ω-余撓自由模類）之間的關係。用（伴隨）ω-余撓自由模的性質給出了ω的左、右投射維數是有限的等價刻畫，並研究了與ω相關的相對同調維數的性質以及它們與ω的內射維數和投射維數之間的關係。在這些工作的基礎上，給出了Wakamatsu傾斜猜想的部分回答。證明了Artin代數R滿足有限維數猜想﹑強Nakayama猜想﹑廣義Nakayama猜想﹑Auslander-Gorenstein猜想﹑Nakayama猜想和Gorenstein對稱猜想中的任意一個若且唯若R[t]/(t^n)滿足這些猜想中的同一個，從而較大地擴展了這些猜想成立的範圍。用投射維數≤n的模範疇的性質等價刻畫了投射維數≤n的傾斜模的加法等價類何時有極小元；建立了K[x]/(x^n)的Auslander代數的基本的支撐τ-傾斜模的同構類與對稱群S_{n+1}之間的一一對應。證明了有界純導出範疇可由特定的同倫範疇實現。引入了純導出範疇中復形的純投射維數和純內射維數的概念，分別用純投射分解和純內射分解的性質結合純導出函子的性質給出了這些維數的計算方法；由此得到了環的純整體維數是有限的一些等價刻畫。利用同倫（余）極限的技巧，證明了任意下有界的復形和上有界的復形分別有純投射分解和純內射分解。證明了任意Artin代數上的有限生成模的有界同倫範疇都有Auslander-Reiten三角。在有小Ext群的Abel範疇中，證明了平衡對與有足夠多的投射對象和內射對象的Ext(-, -)的子函子，以及有足夠多的投射對象和內射對象的Quillen正合結構之間具有一一對應關係；得到了正合版本的Wakamatsu引理，構造了模範疇中的一些（預）覆蓋類，（預）包絡類和既完備又遺傳的余撓對。
