無窮小量

無窮小量是數學分析中的一個概念，在經典的微積分或數學分析中，無窮小量通常以函式、序列等形式出現。無窮小量即以數0為極限的變數，無限接近於0。確切地說，當自變數x無限接近x₀（或x的絕對值無限增大）時，函式值f(x)與0無限接近，即f(x)→0(或f(x)=0)，則稱f(x)為當x→x₀(或x→∞)時的無窮小量。特別要指出的是，切不可把很小的數與無窮小量混為一談。

基本介紹

• 中文名：無窮小量
• 外文名：Infinitesimals
• 提出者：阿基米德
• 提出時間：300年
• 適用領域：數學分析
• 套用學科：數學

定義

無窮小是極限為零的函式。如是自變數，因變數極限為零的函式。此時f(x)就是的無窮小。

無窮大是指絕對值大於任何數的函式，因此負無窮不是無窮小，而是無窮大。

圖示

設f在某x₀的空心鄰域有定義。

對於任給的正數 ε（無論它多么小），總存在正數 （或正數 ）使得不等式 （或 ）的一切 對應的函式值 都滿足不等式 ，則稱函式 為當 （或 ）時的無窮小量。記做： （或 ）。

性質

1、無窮小量不是一個數，它是一個變數。

2、零可以作為無窮小量的唯一一個常量。

3、無窮小量與自變數的趨勢相關。

4、若函式 在某 的空心鄰域內有界，則稱g為當 時的有界量。

例如 ，都是當 時的無窮小量， 是當 時的無窮小量，而 為 時的有界量， 是當 時的有界量。特別的，任何無窮小量也必定是有界量。

5、有限個無窮小量之和仍是無窮小量。

6、有限個無窮小量之積仍是無窮小量。

7、有界函式與無窮小量之積為無窮小量。

8、特別地，常數和無窮小量的乘積也為無窮小量。

9、恆不為零的無窮小量的倒數為無窮大，無窮大的倒數為無窮小。

無窮大

當自變數x趨於x₀時，函式的絕對值無限增大，則稱 為當 時的無窮大。記作 。

同樣，無窮大不是一個具體的數字，而是一個無限發展的趨勢。

階的比較

前提條件

無窮小量是以0為極限的函式，而不同的無窮小量收斂於0的速度有快有慢。因此兩個無窮小量之間又分為高階無窮小 ，低階無窮小，同階無窮小，等價無窮小。

首先規定 都為 時的無窮小， 在某 的空心鄰域恆不為0。

高低階無窮小量

，則稱當 時，f為g的高階無窮小量，或稱g為f的低階無窮小量。

記做 ( )

特別的，f為當 時的無窮小量記作 ( )。

同階無窮小量

當 （c≠0）時，ƒ和ɡ為 時的同階無窮小量。

當x→0時的同階無窮小量：

與

與

等價無窮小量

，則稱ƒ和ɡ是當 時的等價無窮小量，記做： （ ）。

等價無窮小量套用最廣泛，常見的有：

當x→0時

， ， （ ）