高階無窮小

若lim(β/α)=0，則稱“β是比α較高階的無窮小”。意思是在某一過程(x→x₀或x→_∞這類過程)中，β→0比α→0快一些。

基本介紹

• 中文名：高階無窮小
• 外文名： infinitesimal of higher order
• 所屬學科：數學
• 相關概念：無窮小的階，同階、等價無窮小

基本概念

對於兩個無窮小量 和 ，如果 ，就把 叫做比 高階的無窮小量，並把 叫做比 低階的無窮小量；簡稱 是 的高階無窮小， 是 的低階無窮小，記成 。

如果 ，其中 為異於零的常數，這時把 叫做 的 階無窮小。

例如，因為 ，所以 時 是比 較高階的無窮小，意思是說在 的過程中 比 趨向0的速度快。

概念分析

在同一個變化過程中的兩個無窮小，雖然同時都趨向於零，但是它們趨向於零的快慢程度有時卻不一樣，甚至差別很大。實際問題中，有時需要討論這種趨向零的快慢問題，舉例於下。

圖1

有一塊正方形的金屬片，它的邊長原來是3，受熱後增加了 ，問這塊金屬片的面積增加了多少?

如圖1所示，設加熱前正方形金屬片的面積為 ，即 ，加熱後正方形金屬片的面積為 ，即

因此正方形金屬片在加熱後面積增加了 ：

這個等式的右邊有兩項，我們在圖1中看到，畫有斜線的兩塊窄矩形的面積之和就是 ，而畫有交叉線的一小塊正方形的面積就是 。

容易看出，當 時 ，就是說， 和 都是當 時的無窮小。現在我們把它們趨近於零的快慢情況列表比較於下：

	0.5	0.1	0.01	0.001	......	→ 0
	3	0.6	0.06	0.006	......	→ 0
	0.25	0.01	0.0001	0.000001	......	→ 0

從表中看出，當 時， 趨近零比 趨近零快得多，從它們的比值來看，就有

即 與 之比也是當 時的無窮小。這時，我們就說 是比 高階的無窮小。

一般地，我們對兩個無窮小的比較作如下規定：

設 和 都是無窮小，如果 ，我們就說 是比高階的無窮小。

在實際問題的計算中，如果遇到幾個不同階的無窮小量之和，常常把高階無窮小忽略不計。例如，在計算上述正方形金屬片加熱後的面積時，如果 不大，就往往略去 項，而得到

這樣，既抓住了主要矛盾，又簡化了運算手續，而且在許多情況下滿足了實際問題的要求。

無窮小量的比較

設 是同一變化過程中的無窮小， 這一過程中的極限，那么：

(1)如果 ，則稱 是比 高階的無窮小，記作 。

(2) 如果 ，則稱 是比 低階的無窮小。

(3) 如果 ，則稱 與 是同階無窮小。

(4) 如果 ，則稱 與 是等價無窮小，記作 。

(5) 如果 ，則稱 是關於 的k階無窮小。

常用的等價無窮小

當 時，