高等代數(吉林大學數學學院開設的在校課)

高等代數是吉林大學數學學院開設的在校課、理論課（含實驗/實踐）、專業基礎課、技術基礎課、國家級精品資源共享課、國家級一流本科課程。該課程的課程負責人為杜現昆。據2021年10月愛課程官網教學大綱顯示，該課程總學時192學時，其中理論課128學時、習題課64學時，學分為8學分。

該課程共8章內容，分別為多項式、行列式、矩陣、線性方程組、方陣的標準形、實對稱矩陣與二次型、向量空間、內積空間。

基本介紹

• 中文名：高等代數
• 類別：高校在校課、理論課（含實驗/實踐）、專業基礎課、技術基礎課、國家級精品資源共享課、國家級一流本科課程
• 開設院校：吉林大學數學學院
• 總學時：192
• 學分：8
• 適用專業：數學各專業

課程性質

課程背景

數學是自然科學的基礎，而高等代數又是數學的基礎，無論那個數學分支無不將其作為重要工具，所以教學上歷來受到重視，且把它列為數學專業的學生必修的三大基礎課之一。概念的高度抽象性，公理化方法的普遍套用是近代數學的一個特點，而完成這種初等數學到高等數學，形象思維到抽象思維的過渡更是高等代數的任務之一。課程中的“向量空間”為完成這一過渡提供了契機。

隨著計算機的普遍套用，其技術與功能的提高和擴展不斷地給代數學提出新的任務，這也給代數學創造了進一步的發展空間，因而改革教學內容也勢在必行。邊緣學科的興起，各門類，各學科之間的互相滲透已成為一種趨勢。不少學科已經或開始套用代數工具，引入代數理論用以解決相關學科的問題，這也給代數學帶來了新的生命力。考慮到相關學科的需要，處理好與這些學科的銜接，為後續課程提供所需的基本理論和基本方法都是代數學必須要做的事情。

課程定位

順利完成由初等數學到高等數學的過渡，以及使學生快速掌握適應新形勢下的學習方法是高等代數教學的首要任務。其工作中心是系統地講述後續課程所需的基本理論；注意相關學科對代數學的新的套用，適當地增設或擴充有關教學內容；並把培養學生的抽象思維能力貫穿於整個教學過程之中。以達到學生掌握為進一步學習及解決實際問題所需的高等代數的基本理論和基本方法的目的。

適應對象

該課程的教學對象是理科大學數學專業各方向的初年級學生。

課程大綱

第1章 多項式 01-01 多項式及其運算 01-02 多項式的整除性 01-03 最大公因式 01-04 因式分解 01-05 重因式 01-06 多項式的根 01-07 有理數域上的多項式 01-08 多元多項式 01-09 對稱多項式 第2章 行列式 02-01 行列式的定義 02-02 行列式的基本性質 02-03 Laplace 定理 02-04 行列式的計算舉例 02-05 Cramer法則 第3章 矩陣 03-01 矩陣的線性運算 03-02 矩陣的乘法 03-03 轉置以及特殊矩陣 03-04 分塊矩陣 03-05 方陣的行列式 03-06 可逆矩陣 03-07 初等變換與初等矩陣 03-08 矩陣的秩 03-09 列滿秩矩陣 第4章 線性方程組 04-01 n元向量

04-02 線性方程組的解法 04-03 線性方程組的結構 04-04 1-4章課程總結 第5章 方陣的標準形 05-01 特徵根與特徵向量 05-02 多項式矩陣 05-03 Jordan標準形 05-04 Gram-Schmidt正交化 05-05 正規矩陣的標準形 第6章 實對稱矩陣與二次型 06-01 矩陣的契約 06-02 實對稱矩陣在契約變換下的規範形 06-03 半正定矩陣與正定矩陣 06-04 二次型 06-05 Hermite矩陣與Hermite型 第7章 向量空間 07-01 加法群與映射 07-02 向量空間 07-03 有限維向量空間 07-04 有限維向量空間的線性變換 07-05 空間分解與不變子空間 07-06 對偶空間 07-07 雙線性函式與張量積 第8章 內積空間 08-01 歐氏空間 08-02 幾類特殊的線性變換 08-03 酉空間 08-04 5-8章課程總結

（註：課程大綱排版從左到右列）

教學計畫

該課程分兩個學期進行教學，每周4學時，總計128學時，另配習題課64學時，在第二學期配有實驗課12學時，安排適當的上機操作，使學生在實踐中加深理解所學知識。

第一學期教學進程表（64學時）

周次	題目名稱與教學內容	學時
1	預備知識、多項式及其運算	4
2	多項式的整除性、最大公因式	4
3	因式分解、重因式	4
4	多項式的根、有理數域上的多項式	4
5	多元多項式、對稱多項式	4
6	行列式的定義、行列式的性質	4
7	Laplace定理、Cramer法則、行列式計算舉例	4
8	矩陣的線性運算、矩陣乘法	4
9	轉置及特殊矩陣、分塊矩陣	4
10	方陣的行列式、可逆矩陣	4
11	初等變換與初等矩陣	4
12	矩陣的秩、列滿秩矩陣	4
13	n元向量（1）	4
14	n元向量（2）、線性方程組解法	4
15	線性方程組解的結構	4
16	課程總結+機動2學時	4

第二學期教學進程表（64學時）

周次	題目名稱與教學內容	學時
1	特徵值與特徵向量	4
2	多項式矩陣	4
3	Jordan標準形、Gram-Schmidt正交化	4
4	正規矩陣的標準形	4
5	矩陣的契約、實對稱矩陣的契約標準形	4
6	半正定矩陣與正定矩陣	4
7	二次型、Hermite矩陣與型	4
8	加法群與映射	4
9	向量空間	4
10	有限維向量空間	4
11	有限維向量空間的線性變換	4
12	空間分解與不變子空間	4
13	對偶空間、雙線性函式與張量積	4
14	歐氏空間	4
15	幾類特殊的線性變換、酉空間	4
16	課程總結+機動2學時	4

（註：表格內容參考資料）

教學目標

通過該課程的學習，學生應當掌握一元多項式的基本理論；掌握行列式的概念、性質和計算；掌握線性方程組的理論；掌握矩陣的各種運算及標準形；掌握向量空間及其線性變換的概念及理論。

教學要點

教學方法

以課堂講授為主要教學方式，理論課與習題課互動進行。理論課上注意對學生思維能力的培養，習題課中加強對學生推理能力與計算能力的訓練。

教學手段

合理地使用投影儀，計算機多媒體輔助教學，以達到節約時間及使課程新穎、生動、直觀的效果。適當地套用Mathematica或Matlab等數學軟體進行實際問題的計算，以起到通過實踐而深入理解理論的作用。

教學思想

以“一元多項式”理論為“緩衝過程”，來完成由初等數學到高等數學的順利過渡；以行列式，矩陣，方程組等章節中配置的實際問題來實現與其它學科的銜接；以向量空間的基本理論來進行對學生抽象思維能力的培養。

學習預備

• 學習資料

書名	作者	出版社	出版時間	ISBN
《高等代數》	牛鳳文、原永久、杜現昆	高等教育出版社	2007年7月23日	978-7-04-019283-4

考核標準

該課程每學期末考試一次，考試分數為百分制。期末總成績=期末成績+平時成績，其中，期末成績占80%，平時成績占20%。

考評目的：督促學生掌握高等代數的基本內容與思想方法；鍛鍊學生利用已有知識解決問題的能力；提升學生的學習能力和邏輯推演能力；增強學生團結合作的意識、培養團結合作的能力。

考評原則：考查學生對整體知識的掌握，而不是只記住一些零散的局部內容；考查學生對基本概念的理解，而不是只會背定義；考查學生分析、解決綜合問題的能力，而不是僅僅會計算幾個小問題。

考評方式：平時成績加期末閉卷考試成績。具體地，平時成績占一定比例，以督促學生平時的學習。試卷中有平時成績當量的附加題，給學生更多的選擇機會，以便反映有特殊學習習慣、但確實學習較好的學生的真實水平。採取百分制，期末閉卷考試的成績占學習總成績的比例為70%—80%，考試時間為2.5小時。擬制A、B兩套試卷。試題內容遵循教學大綱對認知、理解、套用三個層次的要求；有一定深度、難度的套用性題目達20%。試題內容與前兩次同一課程試題的重複率控制在10%以內。

平時成績來源：出勤率；隨堂測驗；學生分組解決偏難的思考題；撰寫利用高等代數知識解決生產、生活、科學研究等領域問題的小論文；口試。平時成績的考核方式根據教學內容而定，每一部分內容可以採取獨立的形式考核。每一學年的考核內容原則均根據上一學年的考核效果以及學生情況而重新制定。

期末閉卷考試內容比例：

《高等代數I》	多項式	行列式	矩陣	線性方程組
百分比	20	15	40	25
《高等代數II》	方陣的標準形	實對稱矩陣與二次型	向量空間	內積空間
百分比	30	20	35	15

（參考資料來源）

所獲榮譽

2016年6月28日，該課程被中華人民共和國教育部認定為第一批“國家級精品資源共享課”；

2020年11月24日，該課程被中華人民共和國教育部認定為首批“國家級一流本科課程（線下一流課程）”。

教學團隊

姓名	教學職稱	職務
杜現昆	教授	課程負責人
馬晶		主講教師
孫曉松
徐曉偉	副教授
劉陽	講師
於曉鋒
劉大艷
郭穎