高斯-博內定理

高斯-博內定理

微分幾何中,高斯-博內定理(亦稱高斯-博內公式)是關於曲面的圖形(由曲率表征)和拓撲(由歐拉示性數表征)間聯繫的一項重要表述。它是以卡爾·弗里德里希·高斯和皮埃爾·奧西安·博內命名的,前者發現了定理的一個版本但從未發表,後者1848年發表了該定理的一個特例。

基本介紹

  • 中文名:高斯-博內定理
  • 外文名:Gauss–Bonnet theorem
  • 領域:數學
定理內容,一般化的高斯-博內定理,二維高斯-博內定理的操作式證明,

定理內容

設M是一個緊的二維黎曼流形
是其邊界。令K為M的高斯曲率
測地曲率。則有
其中dA是該曲面的面積元,dsM邊界的線元。此處
歐拉示性數
如果
的邊界是分段光滑的,我們將
視作光滑部分相應的積分之和,加上光滑部分在曲線邊界上的轉過的角度之和。

一般化的高斯-博內定理

廣義高斯-博內定理(generalized Gauss–Bonnet theorem)成立於偶數維數的閉黎曼流形。在偶數維數的閉黎曼流形,歐拉示性數仍然可以表達為曲率多項式的積分。
公式:
這是對於高維空間的直接推廣。
例如在四維空間:

二維高斯-博內定理的操作式證明

陳省身大師曾給出高維里高斯-博內定理的一個內蘊證明。用指南車也能給出二維高斯-博內定理的操作式證明。

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