測地曲率

測地曲率(geodesic curvature)是用於刻畫曲面上曲線的內蘊彎曲程度的幾何量。曲線C的曲率的平方等於測地曲率的平方與法曲率的平方之和，有著名的計算測地曲率的Liouville公式。

基本介紹

• 中文名：測地曲率
• 外文名：geodesic curvature
• 所屬學科：數理科學
• 相關概念：曲率、法曲率、Liouville公式等

定義

設 為 正則曲面M上的曲線，

記

並稱 為曲線C在P點處的測地曲率。所以

此外，還有

它表明 是 或 在 上的投影。

相關性質定理

定理1

中曲線C在P點的測地曲率向量 就是C在平面 上的投影曲線C*在P點的曲率向量。

證明:將曲線C按法向n垂直投影到切平面 ，得到切平面上的一條曲面C*，這時投影直線就組成了一個柱面 ，曲線C與C*都是柱面 上過P點的曲線，它們的切向量都是T(因為C與C*都在柱面上，故它們的切向量都垂直於柱面的法向；另一方面，C在曲面M上，故它的切向量垂直M的法向量n；而由C*在切平面 上，故C*的切向量也垂直M在P點的法向量n，由此推得C與C*在P點的切向量相同，都為T)，因為TXn為柱面的法向量以及 中向量 ，又因 ，故 ， 平行於柱面 在P點的法向，於是， 可視作曲線C在P點關於柱面的法曲率向量，所以對柱面運用Meusnier定理後知， 也為曲線C*關於柱面 的法曲率向量，但C*又可視作柱面上過P點的相應於方向T的法截線，易知， 就是C*在P點的曲率向量(圖1)。

圖1

定理2

(曲線C的曲率 的平方等於測地曲率 的平方與法曲率 的平方之和)。

定理3

(Liouville)設M為 中2維 正則曲面， 為其參數表示，並選 為正交的參數曲線網。令

它為 中的規範正交基，C為過P∈M的C2曲線，s為其弧長，單位切向量

則C的測地曲率為

這就是計算測地曲率 的Liouville公式。它只涉及E，F，G，所以 只與曲面M的第1基本形式有關，它是曲面的內蘊幾何量。

此外，還有