基本介紹
- 中文名：模曲線
- 外文名：Modular curve
- 學科：數學
- 屬性：緊黎曼曲面
- 適用範圍：代數幾何及數論領域
- 相關名詞：李曼表面
簡介,分析定義,緊模曲線,舉例,型,
簡介
在數論和代數幾何中，模曲線
是黎曼表面或相關的代數曲線，通過積分2×2矩陣
的模組化組的子群
，構造為復上半平面H的商。模曲線也可以用於指壓縮模曲線
，它們是通過將有限多個點（稱為 的尖點）添加到該商（通過在擴展的復上半平面上）而獲得的緊湊化。模曲線的參數以及 群的一些附加特徵擬合橢圓曲線的同構類。這個解釋給出了模曲線的純代數而不考慮複數的定義，而且證明了模曲線是在有理場Q上建立的，或者是一個循環場。後一種和它的概括在數論中是根本的重要性。
分析定義
模組化組 通過分數線性變換作用在上半平面上。 模曲線的分析定義涉及對於某些正整數N， 的同餘子群 ，即包含
的同餘子群，其中
緊模曲線
（1）H的任何開放子集；
（2）對於所有r> 0，集合
；
（3）對於所有互質整數a，c和所有r> 0， 的像
m,n是整數，並且
這使得
變成作為黎曼球
的子集的拓撲空間。 組 作用於子集
，將其分解成有限的許多軌道，稱為 的尖點。 如果 在 上過渡運行，則空間 \ 成為 \H的Alexandroff壓縮。 再次，複數結構可以放在商\上，使其變為表示為的黎曼表面，其現在是緊湊的。 這個空間是的緊湊化。
舉例
最常見的示例是與子組
，
和
相關聯的曲線
，
和
。
模曲線
具有屬性0：它是具有12個尖點的黎曼球，位於常規二十面體的頂點。 X（5）→X（1）通過二次面組在黎曼球體上來實現。 這個組是一個和A5和PSL（2,5）同構的簡單組。
模曲線
是具有24個尖點的3類克萊恩。 它可以解釋為具有三個柄的表面，由24個七邊形平鋪，每個面的中心具有尖點。 這些可以通過dessins d'enfants和Belyi函式來理解，而邊緣的頂點和中心（黑色和白色點）是0和1之間的點。X（7）→X（1）的伽羅瓦組是與PSL同構的一個168類的簡單組PSL（2,7）。
對於經典模曲線，有一個明確的經典模型，有時被稱為模曲線。的定義可以重述如下：它是作為縮減模N的核心的模組組的子組。然後是上三角模N的矩陣的較大子組：
這些曲線具有作為具有水平結構的橢圓曲線的模數空間，並且因此它們在算術幾何中起重要作用。 水平為N的模曲線是橢圓曲線的模空間。 對於和，層次結構分別是階數N和階N的循環子組。這些曲線已經被非常詳細地研究，特別是已知可以通過Q定義。
定義模曲線的方程是模方程式中最著名的例子。 “最佳模型”可以與直接從橢圓函式理論得出的結果不同。黑克操作員可以在幾何學上進行研究，作為連線成對的模曲線的對應關係。
型
X（N）→X（1）是伽羅瓦，伽羅瓦組SL（2，N）/ {1，-1}，如果N為素數則等於PSL（2，N）。 套用黎曼 - 赫爾維茨公式和高斯 - 博內定理，可以計算的屬。 對於素數級≥5，
其中
是歐拉特徵，
是組PSL（2，p）的順序，
是球（2,3,p）的角。 這產生一個公式
因此，X（5）具有型0，X（7）具有型3，X（11）具有型26。對於p = 2或3，還必須考慮分支，即存在階數p PSL（2，Z）中的元素以及PSL（2,2）具有型6而不是型3的事實。對於涉及的任何級別N的模曲線X（N）的屬來說，存在更複雜的公式 N.的除數。
