由若干個線性環節和一個或多個非線性環節串接或按其他方式聯結起來，便構成了一個非線性組合系統（Nonlinear composite systems）。
分析組合系統時，首先將非線性環節抽出來，然後對剩下的線性部分按照通常的框圖變換法則進行化簡。當線性部分變換成為最簡單的框圖時，即利用非線性環節的等效框圖寫出系統的高階方程組。若有二個非線性元件，所得到的是由n個高階方程組成的方程組，變數數目為n，而變童即是各個非線性元件的輸入量。
基本介紹
- 中文名：非線性組合系統
- 外文名：Nonlinear composite systems
- 涉及學科：信息科學
- 包含：一個或多個非線性環節
- 套用：控制科學、電氣工程、儀器科學
- 模型：數學模型
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簡介
由若干個線性環節和一個或多個非線性環節串接或按其他方式聯結起來，便構成了一個非線性組合系統（Nonlinear composite systems）。
分析組合系統時，首先將非線性環節抽出來，然後對剩下的線性部分按照通常的框圖變換法則進行化簡。當線性部分變換成為最簡單的框圖時，即利用非線性環節的等效框圖寫出系統的高階方程組。若有二個非線性元件，所得到的是由n個高階方程組成的方程組，變數數目為n，而變童即是各個非線性元件的輸入量。
若組合系統中只有一個非線性環節，.可以利用方塊圖變換法則將它變為簡單眼饋系統。利用複數和運算元運算的等效小參量法，是分析組合系統的一種比較簡單的方法。
基礎知識
線性
線性linear，指量與量之間按比例、成直線的關係，在數學上可以理解為一階導數為常數的函式；非線性non-linear則指不按比例、不成直線的關係，一階導數不為常數。
如問：兩個眼睛的視敏度是一個眼睛的幾倍？很容易想到的是兩倍，可實際是 6－10倍！這就是非線性。雷射也是非線性的！天體運動存在混沌；電、光與聲波的振盪，會突陷混沌；地磁場在400萬年間，方向突變16次，也是由於混沌。甚至人類自己，原來都是非線性的：與傳統的想法相反，健康人的腦電圖和心臟跳動並不是規則的，而是混沌的，混沌正是生命力的表現，混沌系統對外界的刺激反應，比非混沌系統快。
雙線性
式中分別是狀態向量和控制向量，上標T表示轉置；A，Pi和B均為常係數矩陣;dx/dt表示x對時間t的微商。這類狀態方程的特點是，它相對於狀態或控制在形式上分別是線性的，雙線性的名稱即源於此。但同時相對於狀態和控制來說，系統則不是線性的。它實際上是一類具有比較簡單形式的特殊非線性系統。雙線性系統模型是對線性系統模型的推廣，它能更準確地描述一類實際過程。生物繁殖過程就是一個典型的例子，用狀態變數x表示種群中生物體的數量，控制變數u表示可人為控制的淨增殖率,則控制種群中生物體數量的繁殖過程可用形式為dx/dt=ux的一個雙線性系統來描述。雙線性系統模型已被廣泛用於工程、生物、人體、經濟和社會問題的研究。例如，化學反應中的催化作用問題；人體內的水平衡過程、體溫調節過程、呼吸中氧和二氧化碳交換過程、心血管調節過程等問題；細胞內的某些生物化學反應問題；社會和經濟領域中的人口問題，動力資源問題，鋼鐵、煤炭、石油產品生產問題等。
雙線性系統的研究始於60年代，70年代以來得到了廣泛的重視和迅速的發展，成為非線性系統研究中比較成熟的分支之一。雙線性系統理論中已有的主要結果為：
- 雙線性系統具有變結構系統的一些特徵，因而有一定的自適應性（見適應控制系統）。
- 對於控制變數受限制（即控制變數的大小必須在一定的界限內）的情況，已經找到用頻率域語言表達的穩定性條件。
- 雙線性系統具有比線性系統更好的能控性。即使控制變數受限制，系統仍可能是完全能控的。已經獲得系統完全能控的一些充分條件。
- 採用動態規劃或極大值原理已能解決雙線性系統的一些最優控制問題,如最速控制，最省燃料控制,以及離散雙線性系統和隨機雙線性系統的最優控制等。
雙線性系統理論已有不少實際套用的例子。例如核電站、核動力裝置中核裂變和熱交換過程的最優控制，人口預測和控制等。
疊加原理
狀態變數和輸出變數對於所有可能的輸入變數和初始狀態都滿足疊加原理的系統。疊加原理是指：如果系統相應於任意兩種輸入和初始狀態(u1(t),x01)和(u2(t),x02)時的狀態和輸出分別為(x1(t),y1(t))和(x2(t),y2(t)), 則當輸入和初始狀態為(C1u1(t)+C2u2(t),C1x01+C2x02)時，系統的狀態和輸出必為(C1x1(t)+C2x2(t),C1y1(t)+C2y2(t)),其中x表示狀態，y表示輸出，u表示輸入，C1和C2為任意實數。
一個由線性元部件所組成的系統必是線性系統。但是，相反的命題在某些情況下可能不成立。線性系統的狀態變數(或輸入變數)與輸出變數間的因果關係可用一組線性微分方程或差分方程來描述，這種方程稱為系統的數學模型。作為疊加性質的直接結果，線性系統的一個重要性質是系統的回響可以分解為兩個部分：零輸入回響和零狀態回響。前者指由非零初始狀態所引起的回響；後者則指由輸入引起的回響。兩者可分別計算。這一性質為線性系統的分析和研究帶來很大方便。
嚴格地說，實際的物理系統都不可能是線性系統。但是，通過近似處理和合理簡化，大量的物理系統都可在足夠準確的意義下和一定的範圍內視為線性系統進行分析。例如一個電子放大器，在小信號下就可以看作是一個線性放大器，只是在大範圍時才需要考慮其飽和特性即非線性特性。線性系統的理論比較完整，也便於套用，所以有時對非線性系統也近似地用線性系統來處理。例如在處理輸出軸上的摩擦力矩時，常將靜摩擦當作與速度成比例的粘性摩擦來處理，以便於得出一些可用來指導設計的結論。從這個意義上來說，線性系統是一類得到廣泛套用的系統。
控制理論的發展
在控制理論的發展過程中，依據對控制系統描述的數學方法不同而形成兩大類：經典控制理論及現代控制理論。經典控制理論是通過傳遞函式來表達系統的輸入—輸出關係的，主要的分析和綜合方法是：頻率回響法及根軌跡法，並且對單輸入—單輸出線性定常系統的分析和綜合是有效的。該理論有兩個局限性：第一，它只能描述單輸入—單輸出定常系統，難於處理多輸入—多輸出系統；第二，它只能表現系統輸入—輸出關係，而對系統內部結構不能提供任何信息，難以揭示系統更深刻的特性。客觀上，現代控制系統要求有一種完善的控制理論，計算機技術的進步又為控制理論的發展創造了條件，於是產生了一種描述系統的新的數學方法——狀態空間法。狀態空間法是建立在狀態變數概念上的，稱為現代控制理論。
現代控制理論與經典控制理論比較，它適用範圍廣，可用於單輸入—單輸出系統或多輸入—多輸出系統，線性或非線性系統，時不變系統或時變系統。現代控制理論可以設計出最優控制規律，使系統的性能指標最佳。它是時域分析方法，對控制過程是直接的，也可以考慮任意初始條件。
就線性系統理論來說，由於採用的數學工具和採用的系統描述的不同，又分成若干平行分支，如線性系統的狀態空間法、線性系統的幾何理論、線性系統的代數理論等。狀態空間法是線性理論中一個最重要和影響最廣的分支。
線性系統與非線性系統
線性，指量與量之間按比例、成直線的關係，在空間和時間上代表規則和光滑的運動；而非線性則指不按比例、不成直線的關係，代表不規則的運動和突變。如問：兩個眼睛的視敏度是一個眼睛的幾倍？很容易想到的是兩倍，可實際是6－10倍！這就是非線性：1+1不等於2。雷射的生成就是非線性的！當外加電壓較小時，雷射器猶如普通電燈，光向四面八方散射；而當外加電壓達到某一定值時，會突然出現一種全新現象：受激原子好像聽到“向右看齊”的命令，發射出相位和方向都一致的單色光，就是雷射。非線性的特點是：橫斷各個專業，滲透各個領域，幾乎可以說是：“無處不在時時有。”如：天體運動存在混沌；電、光與聲波的振盪，會突陷混沌；地磁場在400萬年間，方向突變16次，也是由於混沌。甚至人類自己，原來都是非線性的：與傳統的想法相反，健康人的腦電圖和心臟跳動並不是規則的，而是混沌的，混沌正是生命力的表現，混沌系統對外界的刺激反應，比非混沌系統快。由此可見，非線性就在我們身邊，躲也躲不掉了。
線性系統
簡介
線性系統是一數學模型，是指用線性運算子組成的系統。相較於非線性系統，線性系統的特性比較簡單。線性系統需滿足線性的特性，若線性系統還滿足非時變性（即系統的輸入信號若延遲τ秒，那么得到的輸出除了這τ秒延時以外是完全相同的），則稱為線性時不變系統。
線性系統是指同時滿足疊加性與均勻性（又稱為其次性）的系統。所謂疊加性是指當幾個輸入信號共同作用於系統時，總的輸出等於每個輸入單獨作用時產生的輸出之和；均勻性是指當輸入信號增大若干倍時，輸出也相應增大同樣的倍數。對於線性連續控制系統，可以用線性的微分方程來表示。不滿足疊加性和均勻性的系統即為非線性系統。
分類
對於線性系統，通常還可進一步分為線性時不變系統和線性時變系統。
線性時不變系統
線性時不變系統也稱為線性定常系統或線性常係數係數，其特點是，描述系統動態過程的線性微分方程或差分方程中，每個係數都不隨時間變化的常數。從實際的觀點而言，線性時不變系統也是實際系統的一種理想化模型，實質上是對實際系統經過近似化和工程化處理後所導出的一類理想化系統。但是，由於線性時不變系統在研究上的簡便性和基礎性，並且為數很多的實際系統都可以在一定範圍內足夠精確地用線性時不變系統來代表，因此自然地成為線性系統理論中的主要研究對象。
線性時變系統
線性時變系統也稱為線性變係數系統。其特點是，表征系統動態過程的線性微分方程或差分方程中，至少包含一個參數為隨時間變化的函式。在現實世界中，由於系統外部和內部的原因，參數的變化是不可避免的，因此嚴格地說幾乎所有系統都屬於時變系統的範疇。但是，從研究的角度，只要參數隨時間的變化遠慢於系統狀態隨時間的變化，那么就可將系統按時不變系統來研究，由此而導致的誤差完全可達到忽略不計的程度。
線性時不變系統和線性時變系統在系統描述上的這種區別，既決定了兩者在運動狀態特性上的實質性差別，也決定了兩者在分析和綜合方法的複雜程度上的重要差別。事實上，比之線性時不變系統，對線性時變系統的研究要遠為複雜得多，也遠為不成熟得多。
非線性系統
簡介
一個系統,如果其輸出不與其輸入成正比，則它是非線性的。從數學上看，非線性系統的特徵是疊加原理不再成立。疊加原理是指描述系統的方程的兩個解之和仍為其解。疊加原理可以通過兩種方式失效。
其一，方程本身是非線性的。
其二,方程本身雖然是線性的,但邊界是未知的或運動的。
分類
非本質非線性:能夠用小偏差線性化方法進行線性化處理的非線性。
本質非線性:用小偏差線性化方法不能解決的非線性。
線性與非線性的意義與區別
意義
“線性”與“非線性”是兩個數學名詞。所謂“線性”是指兩個量之間所存在的正比關係。若在直角坐標系上畫出來，則是一條直線。由線性函式關係描述的系統叫線性系統。線上性系統中，部分之和等於整體。描述線性系統的方程遵從疊加原理，即方程的不同解加起來仍然是原方程的解。這是線性系統最本質的特徵之一。“非線性”是指兩個量之間的關係不是“直線”關係，在直角坐標系中呈一條曲線。最簡單的非線性函式是一元二次方程即拋物線方程。簡單地說，一切不是一次的函式關係，如一切高於一次方的多項式函式關係，都是非線性的。由非線性函式關係描述的系統稱為非線性系統。
區別
定性地說，線性關係只有一種，而非線性關係則千變萬化，不勝枚舉。線性是非線性的特例，它是簡單的比例關係，各部分的貢獻是相互獨立的；而非線性是對這種簡單關係的偏離，各部分之間彼此影響，發生耦合作用，這是產生非線性問題的複雜性和多樣性的根本原因。正因為如此，非線性系統中各種因素的獨立性就喪失了：整體不等於部分之和，疊加原理失效，非線性方程的兩個解之和不再是原方程的解。因此，對於非線性問題只能具體問題具體分析。
線性與非線性現象的區別一般還有以下特徵：
（1）在運動形式上，線性現象一般表現為時空中的平滑運動，並可用性能良好的函式關係表示，而非線性現象則表現為從規則運動向不規則運動的轉化和躍變；
（2）線性系統對外界影響的回響平緩、光滑，而非線性系統中參數的極微小變動，在一些關節點上，可以引起系統運動形式的定性改變。在自然界和人類社會中大量存在的相互作用都是非線性的，線性作用只不過是非線性作用在一定條件下的近似。
