非線性隨機系統

非線性系統，指的是系統的狀態與輸出變數在外部條件的影響下，不能用線性關係來描述的系統。

隨機系統是指該系統的輸入輸出或干擾存在隨機因素，或者系統本身具有某種不確定性。

非線性隨機系統是指具有非線性的隨機系統。

基本介紹

• 中文名：非線性隨機系統
• 外文名：Nonlinear stochastic system
• 濾波問題：噪聲統計特性己知的濾波問題
• 控制問題：滑模控制
• 類別：控制科學與工程
• 基礎：非線性系統、隨機系統

基本概念

隨機系統

1907年前後，馬爾可夫發現了一列有某種相依性的隨機變數，其稱為馬爾可夫鏈。1923年，維納給出了至今仍然很重要的研究對象的數學定義一布朗運動。即使如此，我們通常認為隨機過程一般理論是在30年代開始研究。30年代初，柯爾莫哥洛夫和辛欽分別發表了《機率論的解析方法》、《平穩過程的相關理論》，為馬爾可夫過程與平穩過程發展提供了理論依據。萊維在前人的基礎上深入研究布朗運動與可加過程，結合機率知識進行考慮，形成書籍將其出版。1953年，杜布出版了《隨機過程論》，書中對隨機過程的相關理論給予了詳細的講述。1951年，伊藤清在布朗運動方面提出了隨機微分方程的理論。近年來，人們開始討論了關於半靴的隨機微分方程。60年代，法國數學家發展了隨機過程的一般理論，他們主要是從馬爾可夫過程和位勢理論出發。中國學者則在平穩過程、馬爾可夫過程、靴論、極限定理、隨機微分方程等方面取得了較好的成績。

非線性系統

所謂非線性系統，指的是系統的狀態與輸出變數在外部條件的影響下，不能用線性關係來描述的系統。系統受到的這種影響是相對於系統輸入的運動特性來說的。由於組成系統的各部件在不同程度上存在非線性的性質，因此在實際生活中，絕對線性的系統是不存在的。為了改善系統的這種非線性性以得到穩定的系統，需要通過設計控制器來研究系統的穩定性，由此產生了相平面法、描述函式法和諧波平衡法等。在過去的幾十年里，對於非線性系統的研究，產生的很多新興的控制理論中，普遍結合了李雅普諾夫穩定性理論，例如以Kokotovic為代表的反推控制理論(Backstepping ) ，以義大利Isidorii教授為代表發展起來的微分幾何控制理論，以Swaroop和Hedrick等人為代表基於反推控制理論發展起來的動態面控制設計方法，以Zade和Mamdani教授為代表發展起來的模糊數學和模糊控制理論。迄今為止，李雅普諾夫方法己經成為研究非線性系統最常用也是最為完善的一種方法，通過構造李雅普諾夫泛函、構造系統控制器來研究非線性系統的穩定性也己取得顯著成效。

研究現狀

在自然界中，隨機現象是普遍存在的，很多實際系統都無法避免它的影響，因此在很多學科領域和工程實際中，隨機系統都得到了廣泛的套用，在實際生活中，絕大多數系統都會受到某種噪聲的影響，而這樣的噪聲通常會表現出一定的隨機性，如生物系統、化學反應過程、經濟學、金融系統、物理電路、社會系統等。在二十世紀中期，美籍匈牙利數學家Kalman R.E.提出的Kalman濾波理論和美國數學家WienerN.提出的Wiener濾波理論是隨機系統理論的重要基礎，具有重要的理論意義。之後，隨機系統理論得到學者們的廣泛關注，針對隨機系統的建模、穩定性分析、控制和濾波等問題，己經取得了一定的研究成果，而相應的故障檢測問題研究較少。

另一方面，在實際系統中，被控對象或過程大部分呈現非線性特徵。非線性系統與線性系統相比，其最重要最本質的特性是不能採用疊加原理進行分析，從而決定了在研究上的複雜性。但在實際非線性隨機系統中，非線性現象普遍存在，如頻率對振幅的依賴、跳躍諧振、頻率捕捉及異步控制等，它反映了非線性系統運動本質。因此給非線性隨機系統分析和設計帶來本質性的困難。60年代以來，非線性隨機系統研究進入了一個新階段。對於混沌等非線性現象成為非線性系統理論中一個新的研究方向，尤其是數學方法，如微分幾何方法、微分流形理論、非線性泛函分析等引入非線性系統，對於非線性隨機系統理論產生了重要影響[川。二十世紀九十年代，非線性隨機系統的濾波和控制問題成為研究熱點，學者們從多種角度對非線性系統進行了探討，如穩定性問題、模糊控制問題、自適應控制問題以及故障檢測和容錯控制問題等。

在許多文獻中，非線性被看作系統的一種干擾，這種干擾可能來自於外部非線性輸入或者原始系統中高度非線性的線性化過程，是導致系統性能下降的一個重要因素。有的文獻中一些非線性現象被建模為具有外部干擾的非線性系統。有的文獻考慮了在不完全信息情形下隨機發生非線性。對於隨機發生非線性可以定義為某一時刻，可能由於頻寬限制、子系統間的關聯改變及非線性對象工作點的變化而引起非線性的類型及強度隨機可變。為了簡化系統模型和研究的方便，通常需要對非線性增加不同的約束條件，例如李普希茲條件。在這些約束條件中，一種以統計方式描述的所謂隨機非線性己經引起了學者們的特別關注，主要原因是它包含了幾種常用的非線性約束條件，更加具有一般性。

濾波問題

濾波問題一直以來都是控制研究領域中的重要問題之一，其機理是基於測量信息構造合適的濾波器，對系統內部不可測信號進行估計。在過去的幾十年里，根據設計目標的不同，湧現了多種濾波器設計算法，包括：維納濾波、卡爾曼濾波，擴展卡爾曼濾波、粒子濾波、H∞濾波、H2/H∞濾波、集值估計等等。這些濾波算法在航空器軌道修正、組合導航與動態定位、感測器數據融合、工業過程控制及個體經濟學等領域得到了廣泛的套用。

這裡主要介紹噪聲統計特性己知的非線性隨機系統的濾波問題。
自20世紀60年代卡爾曼濾波被提出以來，它在航空航天、社會經濟及工業過程等領域得到了廣泛套用。卡爾曼濾波器是一種線性最優濾波器。在噪聲統計特性己知的前提下，它能夠保證濾波誤差的協方差矩陣在最小方差意義下是最優的。然而，卡爾曼濾波器要求系統模型必須是精確己知的，否則可能會導致濾波算法發散。這就使得卡爾曼濾波算法在一些套用領域具有一定的局限性。於是，針對實際對象和待估計系統的數學模型間存在誤差的情形，廣大學者們給出了一些新的濾波器設計方法。文獻[探討了一類具有乘性噪聲的離散線性時變不確定系統的魯棒卡爾曼濾波器設計問題，設計了一個魯棒有限域卡爾曼濾波器。根據黎卡提型差分方程方法，給出了保證濾波誤差協方差矩陣的上界存在的充分性條件。，當系統具有建模不確定性和測量丟失時，構造了改進的魯棒卡爾曼濾波器。沿著相同的思路，通過設計合適的濾波器增益最佳化了濾波誤差協方差矩陣的上界。

網路化控制系統的發展及其廣闊的套用範圍為控制理論的研究注入了新鮮的活力。相應地，基於卡爾曼濾波方法，廣大研究人員們提出了很多具有網路誘導現象的線性時變遞推濾波算法，湧現了大批優秀的結果。其中，基於有的文獻中的連續數據丟包模型，研究了一類具有連續數據丟包的離散線性隨機系統的狀態估計問題。通過將狀態和測量進行增廣，原始的系統被轉化成一個隨機參數系統。基於當前時刻和前一時刻的測量信息，構造了最優全階線性濾波器。當系統不存在數據包丟失時，該文的濾波算法則退化為標準的卡爾曼濾波算法。為了減少計算成本問題而沒有採用狀態增廣方法，將原系統轉化成一個具有測量時滯和有色測量噪聲的系統，發展了一種最小方差意義下的無偏最優濾波器設計算法。同時，對具有連續數據丟包的離散線性隨機系統設計了最優濾波器、預測器及平滑器。基於線性矩陣不等式技術，學者們也討論了具有連續數據丟包的非線性隨機系統的濾波問題。另一方面，有的文獻研究了具有信道衰減的線性時不變系統的卡爾曼濾波器設計問題，給出了保證時變卡爾曼濾波器的誤差協方差是有界的且收斂到一個穩態值的判別條件。

目前，線性時變隨機系統的最優濾波問題已經發展的比較成熟。然而，幾乎所有的實際系統都具有一定的非線性特性，非線性的存在會使得系統的整體性能受到影響，進而給濾波器設計帶來很大的困難和新的挑戰。因此，研究非線性時變隨機系統的濾波問題具有重要的理論和現實意義。有的文獻研究了一類具有一般非線性的離散確定型系統的擴展卡爾曼濾波器設計問題，給出了擴展卡爾曼濾波器為指數觀測器並保證估計誤差是指數穩定的判別條件。進一步地，針對隨機框架下的一般非線性離散系統，設計了擴展卡爾曼濾波器並分析了濾波器的估計誤差行為。如果初始估計誤差及擾動噪聲足夠小，同時系統滿足非線性可觀性的秩判別準則，則估計誤差也是有界的。近期，該方法被推廣到具有測量丟失的離散非線性時變系統的擴展卡爾曼濾波器設計問題。類似於多數文獻，通過引入服從Bernoulfi分布的隨機變數，刻畫了測量丟失現象，設計了擴展卡爾曼濾波器並分析了濾波器的隨機穩定性。然而仍存在一些不足，它要求描述測量丟失現象的隨機變數必須是實時可知的，這在濾波器的具體實現過程中是難於保證的，因此必然具有一定的保守性。另一方面，自從20世紀80年代內點法在求解線性矩陣不等式方面得到了廣泛套用，網路環境下的非線性時不變隨機系統的濾波問題也得到了迅猛發展。然而，值得一提的是，幾乎所有的實時系統都具有時變特性。於是，探討離散非線性時變隨機系統的濾波問題更具實際意義。由於隨機性和時變性的深奧性，人們對該類問題的探索尚淺，仍有很大的研究空間。

另一方面，在實際套用中，由於模型離散化及外界噪聲干擾的複雜性等原因，待估計系統的過程和測量噪聲常常不是理想的高斯白噪聲。例如，在目標跟蹤系統中，如果系統過程噪聲和測量噪聲都依賴於系統狀態，則這些噪聲間可能是交叉相關的；注意到系統狀態的連續性，則在離散化之後過程噪聲可能是自相關的；此外，在感測器網路中，若多個感測器在同一噪聲環境中量測信息，此時測量噪聲間是交叉相關的。在雷達系統中，若採樣頻率遠遠大於誤差頻寬，在濾波器設計的過程中則不能簡單地把噪聲當成高斯噪聲來處理。目前，學者們在具有相關噪聲的線性時變隨機系統的濾波問題方面己經做了一些優秀的工作。其中，針對過程噪聲和測量噪聲是兩步相關的情形，探討了線性離散隨機系統的最優卡爾曼型狀態估計問題，並討論了多步噪聲相關的情形。此外，證明了當過程噪聲和測量噪聲是一步相關時，設計的卡爾曼型濾波器是全局最優的。針對過程噪聲是有限步相關的情形，設計了卡爾曼型遞推濾波器。基於噪聲相關模型和連續數據丟失模型，研究了一類線性不確定隨機系統的最優魯棒卡爾曼型遞推濾波器設計問題。系統的狀態方程、測量輸出及濾波器參數均存在隨機不確定性。通過將狀態和測量輸出進行增廣，原動態系統被轉化成一個不確定隨機系統，設計了魯棒非脆弱卡爾曼型濾波器。基於黎卡提型差分方程方法，給出了濾波增益的遞推形式並保證濾波誤差的協方差是最優的。目前，文獻中具有相關噪聲的時變隨機系統的遞推濾波算法多數都僅適用於線性系統。此外，在濾波器設計過程中同時考慮相關噪聲及網路誘導現象的文獻也較少。因此，關於具有相關噪聲和網路誘導現象的非線性時變隨機系統的濾波算法研究是一個值得進一步考慮的課題。注意到噪聲相關的複雜性，它對濾波器設計問題帶來了新的挑戰。

控制問題

在過去的幾十年里，非線性控制理論也得到了蓬勃的發展。如前所述，幾乎所有的實際系統都是非線性系統，而我們討論的線性系統僅僅是對非線性的簡化或近似。從某種意義上講，非線性控制理論源於實際的需要，尤其隨著現代社會的飛速發展，人們對控制性能及其精度的要求也越來越高，而傳統的線性控制理論在某些方面是很難保證高精度要求的。於是，非線性系統的控制問題一直以來都是系統控制理論研究的主要問題之一。廣大研究人員們也提出了多種方法：古典方法、微分幾何和微分代數方法、變結構方法、Lyapunov方法等等，並給出了許多有效的系統分析與設計策略。在最優控制、魯棒控制、自適應控制、可靠控制、滑模控制等領域湧現了大批的研究結果。

非線性隨機系統的容錯控制

當今工程系統正朝著大規模和複雜化的方向發展，在系統的運行過程中往往會出現一些不可預測的故障，從而會造成巨大的人員傷亡及經濟損失。因此，在工程系統設計過程中，系統性能的可靠性要求也變得更高。於是，容錯控制問題應運而生。該問題的主要目標是：在感測器、執行器失效或者其它元部件發生故障時，通過設計對系統故障具有強魯棒性的可靠控制器，保證系統仍具有較理想的性能並以最大程度減少損失。容錯控制包括主動容錯控制和被動容錯控制。主動容錯控制包括控制律重新調度、控制器重構設計及模型跟隨重組，它是通過故障診斷機構獲取故障的信息後對系統進行重組。被動容錯控制包括：完整性、可靠鎮定及聯立鎮定。在系統設計時，被動容錯控制將系統可能發生的故障情況作為先驗知識，無需線上獲取故障的信息，通常與魯棒控制技術相結合。目前，容錯控制理論己在航天、航空、工業機器人及核電站等領域的控制系統設計中得到了成功的套用。因此，容錯控制問題的研究具有廣闊的套用前景及實用價值。

滑模控制

20世紀50年代，前蘇聯學者Emelyanov首次提出滑模控制思想，之後Utkin和Itkin等學者進一步地發展了滑模控制理論。滑模控制實際上是一種特殊的非線性控制，其控制律具有切換性。通過設計滑模控制器，將系統的狀態在有限時間內驅動到某一子流形(事先選定的滑模面)並在後續時間維持在該子流形上，形成滑動模態。系統從任意初始狀態趨向到滑模面的階段為趨近階段，而在滑模面上運動的階段為滑模階段。由於滑模控制方法對系統的建模誤差、參數變化及外部擾動等不確定性因素具有強魯棒性的優勢，在過去的三十年里，滑模控制得到了深入的理論研究和廣泛的實際套用，進而成為了控制領域的一個重要研究分支。

非線性時滯隨機系統的滑模控制

時滯現象廣泛存在於航空、經濟、生物及工程系統中，它是導致系統整體性能惡化甚至不穩定的主要原因之一。於是，時滯系統的相關研究得到了廣大研究人員的極大關注。由於在大多數情形下，穩定是系統能夠正常運行的前提。因此，穩定性研究一直以來都是時滯系統分析的重要問題之一。目前，多數關於時滯系統的穩定性判別條件都是基於線性矩陣不等式技術和Lyapunov穩定性理論給出的。根據判別條件是否依賴於時滯的大小，可將時滯系統的穩定性判別準則分為兩大類：時滯相關的和時滯無關的。為了給出具有更少保守性的時滯相關判別條件，廣大研究人員提出了大量的方法，如：有界技術奇異系統方法、自由權矩陣方法和時滯分割方法等。相比其它方法，時滯分割技術可以更有效地減少時滯帶來的保守性。基於時滯分割方法並通過構造新穎的Lyapunov-Krasovskii泛函，有的文獻研究了具有定常時滯的神經網路並給出了一個具有更少保守性的時滯相關指數穩定性判別條件。

在過去的幾十年里，鑒於滑模控制方法的強魯棒性，時滯系統的滑模控制問題得到了廣泛關注。其中，基於Lyapunov方法，研究了具有單一時滯/多時滯和加性攝動的不確定系統的滑模控制問題。當系統狀態是不可測和系統具有非匹配不確定性時，深入研究了一類具有定常時滯的連續Ito型隨機系統的輸出反饋滑模控制問題。基於狀態觀測器設計了滑模控制策略，從而保證了選定滑模面的可達性。利用線性矩陣不等式技術，給出了保證閉環時滯隨機系統在機率意義下是漸近穩定的充分性條件。當系統狀態可測時，則可以容易獲得全狀態反饋滑模控制律。針對具有時變時滯和隨機擾動的不確定連續隨機系統，通過構造一個新的積分型滑模面，探討了該類系統的滑模控制器設計問題，並給出了保證滑動模態是全局隨機穩定的充分性判別條件。同時，根據凸最佳化方法設計了滑模控制器，進而保證指定滑模面的可達性。

值得說明的是，上述關於時滯系統的滑模控制問題的研究多數都是考慮連續系統。然而，隨著計算機控制技術的迅速發展與廣泛套用，當前控制系統多數採用離散系統。因此，使用滑模控制方法研究離散系統己經成為滑模控制的一個重要方向。文獻[158]提出了基於趨近律的離散滑模控制的滑模可達性判別條件，該方法被成功套用於解決不確定離散時滯系統的滑模控制問題。特別地，基於離散可達性判別條件，首次研究了一類網路化環境下具有隨機通訊時滯的非線性離散隨機系統的滑模控制問題。引入一列服從Bernoulli分布的隨機變數，刻畫了網路環境下的隨機發生通訊時滯現象。通過構造新的滑模控制律並採用線性矩陣不等式技術，得到了保證滑動模態魯棒指數均方穩定的充分性判別條件。然而，使用滑模控制理論來處理網路環境下的離散非線性時滯隨機系統的控制問題，尚未引起足夠的重視，有待深入研究。另一方面，研究了具有隨機發生非線性和混合時滯(離散時滯和分散式時滯)的離散隨機複雜網路的全局同步性問題，通過結合自由權矩陣方法和時滯分割思想，給出了一些保證離散時滯隨機複雜網路的均方漸近同步性的充分條件，證明了時滯分割思想的優越性。如何融合好時滯分割思想和滑模控制方法進而處理網路環境下的離散非線性時滯隨機系統的控制問題，是一個值得嘗試並具有挑戰性的研究課題。