《非交換代數上的代數方程及套用》是依託上海大學，由王卿文擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：非交換代數上的代數方程及套用
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：王卿文
- 依託單位：上海大學
中文摘要,結題摘要,
中文摘要
代數方程可解性及解的結構表示是代數學中的重要研究內容，在數學本身及系統科學、工程、控制論、物理、計算機以及信息等領域都有著重要的套用。無論是代數學本身的發展，還是實際問題的解決，都需要深入研究代數方程。..本項目是非交換代數上代數方程與系統控制及量子計算緊密結合的國際前沿性課題。旨在研究若干非交換代數上代數方程和代數方程群的可解性、通解、各種解的結構表示及其在系統控制和量子計算中的套用。..本項目的實施將有助於非交換代數上代數方程及其在控制和量子計算中實際套用的深入研究，從而推動代數學的進一步發展和套用。
結題摘要
隨著高科技的飛速發展，複雜系統控制等實際問題的大數據綜合處理需要研究非交換代數上的含有多變數、多方程的矩陣方程群。約束代數方程在量子計算和量子信息處理中也有重要的套用。本項目主要研究若干非交換代數上複雜的高維（多變元、多方程）矩陣方程群的相容性、通解及各種約束解的結構表示及其在系統控制和量子信息中的相關套用。主要成果如下：（1）在非交換代數上建立了新的四類多矩陣的同時分解，利用這些新的分解定理與矩陣的廣義逆和秩，建立了20類Sylvester型矩陣方程群及5類張量方程群的相容判別準則和一般解、最小二乘解、厄米特解和廣義厄米特解的結構表示；建立了兩類非線性矩陣方程有厄米特正定解的充分必要條件及有唯一厄米特正定解的充分條件，並給出了求相應解的有效算法。這些結果對多系統的同時控制等有重要套用，譬如，可用來解決多個外部輸入和外源輸出的幾乎非相互作用的控制問題等。（2）建立了多類矩陣不等式，包括解決並推廣了J.C. Bourin不等式猜想和S. Hayajneh、F. Kittaneh關於酉不變模猜想，為量子不確定性理論等研究提供了工具。（3）量子約束方程及相關研究。用運算元理論、表示論等數學工具對量子相干、量子非局域性、量子糾纏等重要的量子資源，進行了度量研究，提出了一些新的滿足相干度量準則的度量方法；量子信道是量子信息中的核心問題，我們給出了量子信道的最優界和Choi秩，否定了Choi-Kraus運算元表示中的猜想等若干量子信道的研究成果；研究了在量子糾纏判定中起重要作用的完全正定映射等若干運算元理論，得到了完全正映射的刻畫和與判定準則等若干重要結果。（4）代數方程群可解判定與求解的計算機實現。我們完成了兩個Maple軟體包用來在計算機上實現非交換代數上的矩陣方程群的可解判定和求解，這不僅為非交換代數上矩陣代數方程的理論研究提供很大幫助，也為實際套用提供了有效工具。 （5）以本項目為依託，創建了“上海大學張量與矩陣理論國際研究中心”，主辦、承辦和合辦了11次高規格的大型國際學術會議。項目組在國際自動化最頂級期刊Automatica等國際權威期刊上發表SCI論文67篇，其中ESI高被引論文5篇；在Springer出版了專著1部。項目執行期間，培養了3名博士後、6名博士、13名碩士，其中2人獲國家研究生獎學金。
