《EXT-代數的A無窮代數方法和同調理論》是依託浙江大學，由盧滌明擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：EXT-代數的A無窮代數方法和同調理論
- 依託單位：浙江大學
- 項目負責人：盧滌明
- 項目類別：面上項目
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
用A無窮代數理論來研究非交換代數中的一些問題的設計已在前一課題(批准號10571152)中實踐，其關鍵作用和重要性在非Koszul正則代數的分類中已有充分體現。本項目研究內容主要有兩個方面：一是用A無窮代數方法繼續研究4維Artin-Schelter正則代數的分類問題，這是非交換射影幾何中的一個中心問題，是前一課題的延續；二是利用EXT-代數上的A無窮代數結構解密一些非交換代數(如 Koszul-型代數, Calabi-Yau代數等)深層次信息，並描述它們的同調理論。非交換代數理論的重要性可從它自身的結構和獲得廣泛的套用來認識：數學物理中許多問題用非交換代數理論得以準確地闡述、代數幾何中的一些問題可解釋為非交換代數中的導出等價、利用量子群理論發現了很多新的拓撲不變數、一些物理現象用非線性方程得以表述等等。因此對非交換代數理論更深入的理解將極大地有益於數學（尤其是代數幾何）和物理的一些領域。
結題摘要
本項目是前一資助項目基礎上的延續, 繼續研究Artin-Schelter正則代數的分類問題，研究若干代數的A-代數結構；研究Calabi-Yau代數，以及與Artin-Schelter正則代數和Koszul-型代數之間的聯繫等. 項目總體上按計畫進行, 項目已完成雙分次意義下的5維Artin-Schelter正則代數的完全分類，但非雙分次Artin-Schelter正則代數的完全分類還有待新方法的發現；Koszul型代數和Calabi-Yau代數的研究方面也獲得一些新的成果. 項目在Artin-Schelter正則代數的分類方面的主要成果是：完成了兩個生成元時, 雙分次意義下的4維和5維Artin-Schelter 正則代數的分類.一方面我們給出了二十類5維Artin-Schelter正則代數，它們是雙分次意義下的完全分類，另一方面也在雙分次範圍內完全回答了挪威學者Floystad和Vatne的問題. 最終的成果還未正式發表, 目前正在審理中. 項目的另一方面主要內容是關於自內射代數的穩定範疇的Calabi-Yau性質. 從穩定範疇入手，研究了周期型的Frobenius幾乎Koszul代數, 給出了這類代數成為穩定Calabi-Yau代數的充分條件，給出了Auslander-Reiten變換和合沖函子在對象上的具體作用, 討論了穩定範疇是Calabi-Yau範疇的 tame型自內射代數，及相應的Calabi-Yau代數的Koszul性質. 我們推廣了Berger的N-Koszul代數，將以往僅考慮pure的情況發展到non-pure的情況, 這是Koszul對偶理論用於non-pure對象的開創.
