《分次Calabi-Yau代數的有限群作用及其不變子代數》是依託杭州師範大學，由何濟位擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：分次Calabi-Yau代數的有限群作用及其不變子代數
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：何濟位
- 依託單位：杭州師範大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
Calabi-Yau(簡記為CY)代數源於對CY流形上同調鏡像對稱的研究，而後在非交換代數幾何以及代數表示理論中得到了廣泛套用，目前是非交換代數領域中重要研究對象之一。本項目主要研究連通分次CY代數的有限群作用及其不變子代數，依據不變子代數的正則性與否，分三個方面開展研究：Gorenstein不變子代數的Cohen-Macaulay模範疇以及非交換Auslander定理；正則不變子代數以及斜群代數的PBW形變代數的本原理想的結構；整體維數較低的CY代數及其不變子代數的PBW形變代數的自同構群。主要目標是在CY代數上給出非交換Auslander定理成立的等價條件、進而尋求適當的代數來刻畫Cohen-Macaulay模範疇，並計算低維CY代數的形變代數的自同構群及探求斜群代數的形變代數的本原理想的結構，為研究非交換軌道空間的Gorenstein奇點及其非交換形變的結構與表示提供理論依據。
結題摘要
Calabi-Yau(簡記為CY)代數源於CY流形上的同調鏡像對稱的研究，此後在非交換代數幾何、代數表示理論、數學物理等領域得到廣泛套用。目前在非交換射影代數幾何領域，有限群在非交換射影空間作用下的軌道空間的奇點是該領域的核心研究對象。相應地，有限群（或Hopf代數）在CY代數上作用的不變子代數的結構及其奇點範疇是非交換代數領域的核心研究內容之一。本項目圍繞有限群作用下不變子代數的結構與表示主要開展了以下幾個方面的研究：（1）有限群在分次CY代數上作用的不變子代數的Gorenstein奇點的性質及其表示的研究;（2）套用微分分次代數方法研究分次CY代數及其形變代數；（3）CY代數誘導的三角範疇的構造；（4）張量範疇以及Turaev群在非交換代數中的套用。 本項目引入了Hopf代數作用的新不變數—關聯度，利用該不變數我們證明了非交換Auslander定理，該定理建立了不變子代數與斜群代數之間的密切聯繫。通過計算群作用的關聯度，我們證明了幾類重要代數（包括包絡代數、down-up代數、PI代數、量子多項式代數等）上的有限群作用滿足非交換Auslander定理的條件。為了分析不變子代數的結構，本項目引入了研究群作用的新的工具—根理想。利用根理想的局部上同調，我們給出了不變子代數是Cohen-Macaulay代數的條件。特別地，我們給出了整體維數是2的諾特半局部代數的不變子代數的奇點的刻畫。 在微分分次代數方法方面，給出了Koszul CY微分分次代數的構造方法及其導出Picard群的計算方法，並詳細計算了幾類重要微分分次代數的導出Picard群。此外，給出了兩類三角範疇粘合的構造，以及利用張量範疇分析了Turaev群余代數的結構，給出了一些Yang-Baxter類型方程的解。 本項目建立的非交換Auslander定理一方面為在非交射影空間中建立非交換McKay對應的提供了重要工具，另一方面也為非交換射影空間中Gorenstein跡形提供了非交換奇點解消的一條途徑。本項目引入了群作用的關聯度以及根理想為研究不變數理論以及奇點理論提供了新的工具。
