《辛反射代數，分次Calabi-Yau代數及其PBW形變》是依託復旦大學，由吳泉水擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：辛反射代數，分次Calabi-Yau代數及其PBW形變
- 依託單位：復旦大學
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：吳泉水
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
本項目研究非交換代數幾何中的Calabi-Yau(簡記為CY)代數及其形變、辛反射代數和有理Cherednik代數。辛反射代數的出現源於對Kleinian奇點的非交換形變的研究；CY代數源自同調鏡像對稱猜想。辛反射代數是對稱代數與辛群的斜群代數的PBW形變。我們的研究目標是用Jacobi型條件刻畫CY代數的PBW形變的CY性質；用Hopf代數作用的同調行列式研究CY Hopf代數與CY代數的smash積的CY性質；研究量子齊次空間的同調性質及CY性質；研究有理Cherednik代數上的BGG範疇的結構、高階辛反射代數的中心和高階球面子代數之間的關係、以及球面子代數和高階Koszul代數在有限群作用下的不變子代數的PBW形變之間的關係。
結題摘要
我們研究了Calabi-Yau代數及其PBW形變. 利用中心正則擴張和PBW形變之間的關係, 刻畫了Koszul Calabi-Yau代數的中心正則擴張的Calabi-Yau性質, 以及Koszul Calabi-Yau代數PBW形變的Calabi-Yau性質; 給出了（不一定是諾特）Koszul AS正則代數的PBW形變的Nakayama自同構的計算方法. 建立了廣義smash積上的PBW形變理論, 這類廣義smash積代數包括有限特徵域上的辛反射代數、Hecke代數、Lusztig型代數等. 給出了一類5維Artin-Schelter正則代數的分類，以及一類5維Artin-Schelter正則代數上點摸的分類； 利用Hochschild上同調理論，證明了Ore擴張保持twisted Calabi-Yau 性質，並給出擴張前後Nakayama自同構的關係； 利用Hopf代數在AS-Gorenstein代數上的作用的同調行列式, 證明：若H是對合的Calabi-Yau Hopf代數, A是p-Koszul Calabi-Yau代數並且是左H-模代數，則A#H是Calabi-Yau代數若且唯若H在A上的作用的同調行列式是平凡的； 證明（非標準的）Podles量子球都具有Auslander正則性、Cohen-Macaulay性和Artin-Schelter正則性. 證明了量子包絡代數U_q(g) 的量子齊次空間都是twisted Calabi-Yau 代數和AS-正則代數. 當量子齊次空間位於量子Borel 部分時, 得到了Nakayama 自同構的表達式. 如果一個pointed Hopf 代數的量子齊次空間是AS-Gorenstein的，則它有rigid對偶復形，其Nakayama 自同構可以通過它的同調積分確定. 對U_q(sl_2)的量子齊次空間進行了完全分類，並證明他們具有Auslander正則性、Cohen-Macaulay性和Artin-Schelter正則性. 對多項式Poisson代數, 證明了係數在一個Poisson模M中的Poisson上同調和Poisson同調間存在一個twisted Poincare 對偶. 如果Poisson結構是 unimodular 的, 則twisted Poincare 對偶就是通常的 Poincare 對
