自由泛代數

泛代數是以一般代數系統為研究對象的一個數學分支。在諸如矩陣群、置換群、變換群等具體的群概念基礎上，經過抽象概括而得出抽象群的概念，與此類似，可以在一般的群、環、布爾代數、模、格、半群等概念之上再抽象，得出能概括它們的共性的更加一般的概念。這就是泛代數的方法和任務。

自由泛代數(free universal algebra)一種特殊泛代數。

基本介紹

• 中文名：自由泛代數
• 外文名：free universal algebra
• 領域：代數學
• 性質：特殊泛代數
• 產生方式：同態
• 結果：自由生成元集

概念介紹

自由泛代數(free universal algebra)一種特殊泛代數。設K是一個泛代數的類，U=〈A，F〉∈K，X={x_i|i∈I}是U的生成集合，稱U是K上的一個自由代數。若對任意B=〈B，F〉∈K和任意ψ：I→B，存在U到B的一個同態φ使得ψ(i)=φ(x_i)(i∈I)，則稱X為U的一個自由生成元集。

代數

數學的一個分支。傳統的代數用有字元 (變數) 的表達式進行算術運算，字元代表未知數或未定數。如果不包括除法 (用整數除除外)，則每一個表達式都是一個含有理係數的多項式。例如： 1/2 xy+1/4z-3x+2/3. 一個代數方程式 (參見EQUATION)是通過使多項式等於零來表示對變數所加的條件。如果只有一個變數，那么滿足這一方程式的將是一定數量的實數或複數——它的根。一個代數數是某一方程式的根。代數數的理論——伽羅瓦理論是數學中最令人滿意的分支之一。建立這個理論的伽羅瓦(Evariste Galois，1811-32)在21歲時死於決鬥中。他證明了不可能有解五次方程的代數公式。用他的方法也證明了用直尺和圓規不能解決某些著名的幾何問題(立方加倍，三等分一個角)。多於一個變數的代數方程理論屬於代數幾何學，抽象代數學處理廣義的數學結構，它們與算術運算有類似之處。參見，如： 布爾代數(BOOLEAN ALGEBRA);群 (GRO-UPS);矩陣(MATRICES);四元數(QUA-TERNIONS );向量(VECTORS)。這些結構以公理 (見公理法 AXIOMATICMETHOD) 為特徵。特別重要的是結合律和交換律。代數方法使問題的求解簡化為符號表達式的操作，已滲入數學的各分支。

設K為一交換體. 把K上的向量空間E叫做K上的代數，或叫K-代數，如果賦以從E×E到E中的雙線性映射.換言之，賦以集合E由如下三個給定的法則所定義的代數結構：

——記為加法的合成法則(x，y)↦x+y;

——記為乘法的第二個合成法則(x，y)↦xy;

——記為乘法的從K×E到E中的映射(α，x)↦αx，這是一個作用法則;

這三個法則滿足下列條件：

a) 賦以第一個和第三個法則，E則為K上的一個向量空間;

b) 對E的元素的任意三元組(x，y，z)，有

x(y+z)=xy+xz(y+z)x=yx+zx;

c)對K的任一元素偶(α，β)及對E的任一元素偶(x，y)，有(αx)(βy)=(αβ) (xy).

設A為一非空集合. 賦予從A到K中的全體映射之集ℱ(A，K)以如下三個法則：

則ℱ(A， K)是K上的代數， 自然地被稱為從A到K中的映射代數.當A=N時， 代數ℱ(A，K)叫做K的元素序列代數.

無論是在代數還是在分析中，代數結構都是最常見到的結構之一。十九世紀前半葉末，隨著哈密頓四元數理論的建立，非交換代數的研究已經開始。在十九世紀下半葉，隨著M.S.李的工作，非結合代數出現了。 到二十世紀初，由於放棄實數體或複數體作為運算元域的限制，代數得到了重大擴展。

與外代數，對稱代數，張量代數，克利福德代數等一起，代數結構在多重線性代數中也建立了起來。

泛代數

泛代數是代數學的一個分支學科。泛代數是在群、環、域、格等代數系統研究的基礎上進一步抽象得以發展起來的一般代數系統。一個泛代數U是一個二元組〈A，F〉，其中A是一個非空集合，稱A為U的全域(universe)或支集(underlying set)，F是定義於A上的運算集合(F可能是有限集，也可能是無限集)。對於泛代數可以仿照群、環、域中的方式定義子代數、同態、同構概念等。

早在1898年，懷特海(Whitehead，A.N.)就意識到要研究泛代數。但直到20世紀30年代伯克霍夫(Birkhoff，G.D.)的論文發表以前，泛代數的研究沒有什麼發展。這和當時近世代數的大部分分支沒有得到充分的發展有關。從1935年到1950年，泛代數的大部分研究成果是按伯克霍夫的文章的方向進行的，即，研究自由代數、同態定理、同構定理、契約關係格、子代數格等。

由於數理邏輯的發展，為泛代數的研究提供了一個新的工具，特別是哥德爾完全性定理、塔爾斯基可滿足性概念、緊緻性定理等，使人們意識到邏輯在代數中套用的可能性。馬爾茨夫(Malcev)於1941年發表了這方面的第一篇論文，由於戰爭，他的論文沒有引起人們的注意。後來，塔爾斯基(Tarski，A.)、亨金(Henkin，L.)和魯賓孫(Robinson，A.)開始這方面的研究工作。

利用模型論(數理邏輯的一個分支)研究泛代數的主要代表人物有塔爾斯基、亨金、查爾各(Charg，C.C.)、嬌生(Jonsson，B.)、凱斯勒爾(Keisler，H.J.)、林敦(Lyndon，R.C.)、墨爾洛各(Morlog，H.)、斯科特(Scott，D.S.)、沃特(Varght，R.L.)等人。當然，泛代數的結果也可套用於模型論的研究。

泛代數除了在數學本身的研究中有廣泛套用外，對計算機語言和語義理論的研究也有越來越大的作用。

同態

設E與F為兩個群胚，它們的合成法則分別記為⊥與⊤。稱從E到F中的映射f是群胚同態，如果對於E的任一元素偶(x，y)，有：

設E與F為兩個么半群(兩個群)，稱從E到F中的映射。f是么半群(群)的同態，如果f是群胚的同態，且E的中性元素的象是F的中性元素。 (在群的情況下，後一個條件是自然滿足的，但是從加法么半群N到乘法么半群N的映射x↦0是群胚的同態， 而並不因此就是么半群的同態)。

設G為乘法群，而a為G的元素。 由關係f(n)=an所定義的從加法群Z到G中的映射f是群的同態。

設A與B為兩個環(兩個體)，稱從A到B中的映射f是環(體)的同態，如果f是加法群的同態，且為乘法么半群的同態. 這就是說，對A的任一元素偶(x，y)，有

f(x+y)=f(x)+f(y)f(xy)=f(x)f(y)，

並且f將A的單位元變成B的單位元。

例如，設n為非零自然數;使任一有理整數對應其對模n的剩餘類映射是從環Z到環Z/nZ上的同態。設E與F為兩個A-代數(兩個酉A-代數)。稱從E到F中的映射f是A-代數(酉A-代數)的同態，如果它是線性映射，並且是乘法群胚(乘法么半群)的同態。

例如，設E為交換體K上的非零有限n維向量空間，而B為E的基。則從E的全體自同態之酉代數ℒ(E)到K中元素構成的全體n階方陣之酉代數Mn (K)中的映射，如果該映射使E的任一自同態對應它在基B中的矩陣，則這一映射是酉代數的同態。

同態的概念能用抽象的方式加以推廣。