集合域

集合域是一種常見的集合代數，若𝓤=<𝒜,∩,∪>是集合環，且當A∈𝒜，B∈𝒜，B⊇A時，B-A∈𝓐則稱該集合環為集合域。

基本介紹

• 中文名：集合域
• 外文名：field of sets
• 適用範圍：數理科學

簡介

集合域是一種常見的集合代數，若𝓤=<𝒜,∩,∪>是集合環，且當A∈𝒜，B∈𝒜，B⊇A時，B-A∈𝓐則稱該集合環為集合域，記為<𝒜,∩,∪,->。

這裡差“-”並不是域上的二元運算，因為當A∈𝒜，B∈𝒜，A⊈B時，不要求B-A∈𝒜。

性質

集合的域有下列性質：

1、集合域一定是集合環；

2、對於任一非空集族𝓜，存在一個包含它的最小域。只要求出包含𝓜的最小集合環𝒰=<𝒜,∩,∪>，考慮𝒜中的每一遞降集列M₁⊇M₂⊇...構造有限差鏈M=(M₁-M₂)+(M₃-M₄)+(M₅-M₆)+...+(M_2n-1-M_2n)。所有這些差鏈M的集合設為𝓜₀，則<𝓜₀,∩,∪,->是包含𝓜的最小域。

3、在集合環𝒰=<𝒜,∩,∪>中，若凡小於𝕹_n個𝒜中的元素的交都在𝒜中，則所有𝒜中元素作成的長度小於𝔀_n的差鏈構成一個域。

4、若<𝒜,∩,∪,->是一個集合域，則∅∈𝒜。

集合環

(ring of sets)

集合環簡稱集環，是一種常見的集合代數。如果由集合構成的非空族R滿足：A∈R和B∈R蘊涵A∪B ∈R，A-B∈R，則稱R為一個集環。如果它還滿足A_n∈R(n=1,2,…)蘊涵∪^∞_n=1An∈R，則稱R為σ（集）環。如果把兩個集合的對稱差看作和，把兩個集合的交看作積，則上面定義的集環就是在這兩種運算下的代數意義上的環。對任何集合X，它的一切有限子集構成的族S是一個集環。左閉右開區間的一切有限並構成一個集環。設C是由集合X的一些子集構成的一個族，則一切包含C的集環（或σ環）的交是包含C的最小集環（或σ環），稱為由C生成的集環（或σ環）。