間斷點及其分類

如果函式f在點x連續，則稱x是函式f的連續點；如果函式f在點x不連續，則稱x是函式f的間斷點。

基本介紹

• 中文名：間斷點
• 外文名：point of discontinuity
• 學科：數學
• 領域範圍：函式連續性
• 分類：第一類間斷點和第二類間斷點

定義

設函式 在某 上有定義。若 在點 無定義，或 在點 有定義而不連續，則稱點 為函式 的間斷點或不連續點。

若 為函式 的間斷點，則必出現下列情形之一：

（i） 在點 無定義或極限 不存在；

（ii）） 在點 有定義且極限 存在，但

據此，我們對函式的間斷點作如下分類：

可去間斷點

若

而 在點 無定義，或有定義但 ，則稱 為 的可去間斷點。

例如，對於函式 ，因 ，而

故 為 的可去間斷點。又如函式 ，由於 ，而 在 無定義，所以 是函式 的可去間斷點。

設 為函式 的可去間斷點，且 。我們按如下方法定義一個函式 ：當 時， ；當 時， 。易見，對於函式 ， 是它的連續點。例如，對上述的 ，我們定義

則 在 連續。

跳躍間斷點

若函式 在點 的左、右極限都存在，但

則稱點 為函式 的跳躍間斷點。

例如，對函式 ，當 （ 為整數）時有

所以在整數點上函式 的左、右極限不相等，從而整數點都是函式 的跳躍間斷點。

可去間斷點和跳躍間斷點統稱為第一類間斷點。第一類間斷點的特點是函式在該點處的左、右極限都存在。

第二類間斷點

函式的所有其他形式的間斷點，即使得函式至少有一側極限不存在的那些點，稱為第二類間斷點。

例如，函式 當 不存在有限的極限，故 是 的第二類間斷點。函式 在點 處的左、右極限都不存在，故 是 的第二類間斷點。當趨近於 時，函式在 和 之間取值，這樣的間斷點稱為振盪間斷點。

無窮間斷點和振盪間斷點都屬於第二類間斷點。

便於理解和記憶，間斷點的分類概括如下：

間斷點分類概括圖

幾個有間斷點的函式

（1）狄利克雷函式

在定義域 上每一點 都是第二類間斷點。

（2）函式

僅在點 連續， 時是第二類間斷點。

（3）整數部函式

與小數部函式

都是在 為整數時是第一類不可去間斷點，在這些點仍是右連續的。

（4）黎曼函式

在每一個無理點都連續，而在異與零的有理點都不連續。

（5）函式

在點 附近函式振盪而無極限， 是它的第二類間斷點。

（6）函式

在點 是可去間斷點，並且

（7）函式

在點 是可去間斷點。

（8）函式

在點 是第二類間斷點。

套用

例 求分段函式

的間斷點並判斷其類型。

解 因為

所以， 是 的跳躍間斷點。

又因為

所以在處連續。