錯位相減法

形如A_n=B_nC_n，其中{B_n}為等差數列，通項公式為b_n=b₁+(n-1)*d；{C_n}為等比數列，通項公式為c_n=c₁*q^(n-1)；對數列A_n進行求和，首先列出S_n，記為式（1）；再把所有式子同時乘以等比數列的公比q，即q·S_n，記為式（2）；然後錯開一位，將式（1）與式（2）作差，對從而簡化對數列An的求和。這種數列求和方法叫做錯位相減法。

錯位相減法是一種常用的數列求和方法。套用於等比數列與等差數列相乘的形式。

基本介紹

• 中文名：錯位相減法
• 外文名：Dislocation Subtraction
• 別稱：錯位法
• 表達式：1/[n(n+1)]=（1/n）- [1/(n+1)]
• 套用學科：數學
• 適用領域範圍：代數
• 適用領域範圍：數列

條件

如果數列的各項是由一個等差數列和一個等比數列的對應項之積構成的，那么這個數列的前n項和S_n可用此法來求和。

舉例

【典例】：求和S_n=1+3x+5x²+7x³+…+(2n-1)·x^n-1（x≠0，n∈N*）

當x=1時，S_n=1+3+5+…+(2n-1)=n²

當x≠1時，S_n=1+3x+5x²+7x³+…+(2n-1)x^n-1

∴xS_n=x+3x²+5x³+7x⁴+…+(2n-1)xⁿ

兩式相減得(1-x)S_n=1+2(x+x²+x³+x⁴+…+x^n-1)-(2n-1)xⁿ

化簡得

解題套用

錯位相減法是數列求和的一種解題方法。在題目的類型中：一般是a前面的係數和a的指數是相等的情況下才可以用。

典例1：

求和：S_n=a+2a²+3a³+…+naⁿ(a≠0,n∈N*)

分析：分a=1，a≠1兩種情況求解，當a=1時為等差數列易求；當a≠1時利用錯位相減法即可求得。

解：

(1)當a=1時， ；
(2)當a≠1時，S_n=a+2a²+3a³+…+naⁿ……①
①×a得，aS_n= a²+2a³+3a⁴+……+naⁿ⁺¹ ……②

①-②得，(1-a)S_n=a+(2-1)a²+(3-2)a³+(4-3)a⁴……+(n-n+1)aⁿ-naⁿ⁺¹

(1-a)S_n=a+a²+a³+a⁴+……+aⁿ-naⁿ⁺¹=a(1-aⁿ)/(1-a) -naⁿ⁺¹

∴

綜上所述，

當a=1時， ；

當a≠1時， ．

典例2：

求和S_n=1+3x+5x²+7x³+……..+(2n-1)·x^n-1（x≠0,n∈N*）

解：

當x=1時，S_n=1+3+5+…..+(2n-1)=n²

當x≠1時，S_n=1+3x+5x²+7x³+……..+(2n-1)x^n-1

∴xS_n=x+3x²+5x³+7x⁴……..+(2n-1)xⁿ

∴兩式相減得：(1－x)S_n=1+2x[1+x+x²+x³+...+x^n-2]-(2n-1)xⁿ

化簡得：

典例3：

求和：

解：

①

①兩邊同時乘以

②

①-②得：

典例4：

已知數列{a_n}中，a₁=3，點(a_n，a_n+1)在直線y=x+2上。

(1)求數列{a_n}的通項公式；

(2)若b_n=a_n`3ⁿ，求數列{b_n}的前n項和T_n。

解：

(1)∵點（a_n,a_n+1)在直線y=x+2上

∴a_n+1=a_n+2,即a_n+1-a_n=2

∴數列{a_n}是以3為首項，以2為公差的等差數列

∴a_n=3+2(n-1)=2n+1

(2)∵b_n=a_n·3ⁿ

∴b_n=(2n+1)·3ⁿ

∴T_n=3×3+5×3²+7×3³+…+(2n-1)·3^n-1+(2n+1)·3ⁿ ①

3T_n=3×3²+5×3³+…+(2n-1)·3ⁿ+(2n+1)·3ⁿ⁺¹ ②

由①-②得

-2T_n=3×3+2(3²+3³+…+3ⁿ)-(2n+1)·3ⁿ⁺¹

=9+2×9(1-3^n-1)/(1-3)-(2n+1)·3ⁿ⁺¹

=-2n·3ⁿ⁺¹

∴T_n=n·3ⁿ⁺¹

公式的推導

以下進行一切通項公式為等差乘等比( )型數列的求和公式推導：

已知數列 的通項公式為

求其前 項和

因為

用上式減下式，得

套用等比數列求和公式可得

兩邊均乘 得

展開整理得

最終得到