里斯定理

泛函分析中,有多個有名的定理冠以里斯定理,又稱里斯表示定理(Riesz representation theorem),它們是為了紀念匈牙利數學家弗里傑什·里斯

基本介紹

  • 中文名:里斯定理
  • 外文名:Riesz representation theorem
希爾伯特空間表示定理,Cc(X) 上線性泛函的表示定理,C0(X) 的對偶空間的表示定理,

希爾伯特空間表示定理

這個定理建立了希爾伯特空間與它的連續對偶空間的一個重要聯繫:如果底實數,兩者是等距同構;如果域是複數,兩者是等距反同構。如下所述,(反)同構是特別自然的。
是一個希爾伯特空間,令
表示它的對偶空間,由從
到域
的所有連續線性泛函。如果
中一個元素,則函式
定義為
的一個元素,這裡
表示希爾伯特空間的內積。里斯表示定理斷言
中任何元素都能惟一地寫成這種形式。
定理:映射
是一個等距(反)同構,這就是說:
雙射
的範數與
的範數相等:
可加:
如果底域是
,則
對所有實數
如果底域是
,則
對所有複數
,這裡
表示
復共軛
的逆映射可以描述為: 給定
中一個元素
,核
正交補是H的一維子空間。取那個子空間中一個非零元素
,令
。則
歷史上,通常認為這個定理同時由里斯和弗雷歇在1907年發現(見參考文獻)。格雷(Gray)在評論從他認為是原型的里斯(1909)一文到里斯表示定理的發展時說:“給定運算
,可以構造有界變差函式
,使得無論連續函式
是什麼,都有
量子力學的數學處理中,這個定理可以視為流行的狄拉克符號記法的根據。當定理成立時,每個右括弧
有一個相應的左括弧
,對應是清楚的。但是存在拓撲向量空間,比如核空間(Kernel space),里斯表示定理不成立,在這樣的情形狄拉克符號變得不合適。

Cc(X) 上線性泛函的表示定理

下面的定理表示出
上的正線性泛函,支集連續復值函式空間。下面所說的波萊爾集表示由開集生成的σ-代數。
局部緊豪斯多夫空間
上一個非負可數可加波萊爾測度
正規的若且唯若
對所有緊集
對每個波萊爾集
關係
成立只要
是開集和
是波萊爾集且
定理:設是一個局部緊豪斯多夫空間。對
上任何正線性泛函ψ,在上存在惟一的波萊爾正則測度
使得
對所有
進入測度論的一個途徑是從拉東測度開始,定義為
上一個正線性泛函。這種方式由布爾巴基採取;這裡顯然假設
首先是一個拓撲空間,而不僅是一個集合。對局部緊空間,重新得到了一個積分理論。

C0(X) 的對偶空間的表示定理

下面定理也稱為里斯-馬爾可夫定理,給出了
對偶空間的一個具體實現,
上在無窮遠趨於零的連續函式。定理陳述中的波萊爾集契約樣指由開集生成的 σ-代數。結論與上一節類似,但不能包含在前一個結果之中。參見下面的技術性注釋。
如果
是一個復值可數可加波萊爾測度,
是正則的若且唯若非負可數可加測度 |
| 正則(上一節所定義的)。
定理:設是一個局部緊豪斯多夫空間。對
上任何連續線性泛函ψ,存在
上惟一正則可數可加波萊爾測度
使得
對所有
。ψ 的範數作為線性泛函是
全變差(total variation),即
最後,ψ 是的若且唯若測度
是非負的。
上任何有界線性泛函惟一延拓為
上有界線性泛函,因為後一個空間是前者的閉包。但是
上一個無界正線性泛函不能延拓為
上一個有界線性泛函。因此前兩個結論套用的情形稍微不同。

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