酉變換

酉變換

酉變換(unitary transformation)是指酉空間V的等度量變換。對∀α,β∈V,滿足條件(σ(α),σ(β))=(α,β)的線性變換σ稱為酉變換。對n維酉空間V的每一酉變換σ,都存在V的標準正交基,使σ關於此基的矩陣為對角形,且對角線上元素的模為1。以下陳述都是線性變換σ為酉變換的充分必要條件:1.對酉空間的每一向量α,|σ(α)|=|α|;2.σ關於某一組標準正交基的矩陣是酉矩陣;3.若ε1,ε2,…,εn是標準正交基,則σ(ε1),σ(ε2),…,σ(εn)也是標準正交基。酉變換是不變內積的變換,在歐氏空間中則稱為正交變換

基本介紹

  • 中文名:酉變換
  • 外文名:unitary transformation 
  • 所屬學科:數學
  • 所屬問題:群及其推廣( 典型群)
  • 相關概念:酉空間,Household變換等
  • 簡介:酉變換指酉空間V的等度量變換
基本介紹,相關結論,相關概念,對稱變換,Household變換,

基本介紹

酉變換是一種線性變換。設σ是酉空間V的線性變換,若對任意的α,β∈V,(σ(α),σ(β))=(α,β),則稱σ為V上的酉變換。設σ是n維酉空間V的酉變換,則存在V的標準正交基,使σ關於此基的矩陣為對角形,且對角線上元素的模為1。設σ是n維酉空間V的線性變換,則下列命題等價:
1.σ是酉變換;
2.|σ(α)|=|α|,對任意的α∈V;
3.σ關於標準正交基的矩陣是酉矩陣(酉變換(或正交變換)在標準正交基下的矩陣表示是酉矩陣(或正交矩陣));
4.若ε1,ε2,…,εn是V的標準正交基,則σ(ε1),σ(ε2),…,σ(εn)也是V的標準正交基。

相關結論

定理1 設V為酉空間,則
A為V的酉變換
A把V的規範正交基仍變為規範正交基。
定理2 設V為酉空間,則
A為V的酉變換
A關於V的任一個規範正交基的矩陣是酉矩陣。
在酉空間裡,同樣有對稱變換
定理3
的酉變換是線性變換。

相關概念

對稱變換

定義 設V為酉空間,A∈L(V),如果
則稱線性變換A為V的對稱變換
對於對稱變換,我們有下面的結論。
定義
,如果
對稱矩陣H為埃爾米特(Hermite)矩陣。
定理 設V為酉空問,則
A為V的對稱變換
A關於V的任一個規範正交基的矩陣是埃爾米特矩陣。
關於對稱變換與埃爾米特矩陣還有下面的結論。
定理 設V為酉空間,A為V的對稱變換,則
(1)A的特徵值是實數;
(2)A的屬於不同特徵值的特徵向量正交;
(3)存在V的一個規範正交基,使得A關於這個基的矩陣是對角矩陣。
定理 設H是為n階埃爾米特矩陣,則存在n階酉矩陣U,使得
是一個對角矩陣。
ie:埃爾米特矩陣一定“酉相似”於一個對角矩陣。

Household變換

,且
。則由矩陣
所確定的線性變換
中的酉變換。
Household矩陣有以下性質:
;(Hermite矩陣)
;(酉矩陣)
;(對合陣)
;(自逆陣)
⑤若
,則
Household變換也稱為初等反射變換,而Household矩陣也稱為初等反射矩陣。

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