連續集值映射

連續集值映射(continuous set-valued mapping)是一類特殊的集值映射。設X，Y為拓撲空間，F：X→Y為集值映射，x∈X，若對於F(x)的任意鄰域V，存在x的鄰域U，使得當z∈U時有F(z)⊂V，則稱F在點x是上半連續的，若F在X的任意點都是上半連續的，則稱F為X上的上半連續集值映射。若對於Y的任意開集V，當F(x)∩V≠∅時，存在x的鄰域U，使得當z∈U時有F(z)∩V≠∅，則稱F在點x是下半連續的，若F在X的任意點都是下半連續的，則稱F為X上的下半連續集值映射。上半連續且下半連續的集值映射稱為連續集值映射。這個定義是庫拉托夫斯基(K.Kuratowski)於1932年給出的。

基本介紹

• 中文名：連續集值映射
• 外文名：continuous set-valued mapping
• 所屬學科：數學（一般拓撲學）
• 相關概念：集值映射
• 提出者：庫拉托夫斯基

定義

稱集值映射在點處是下半連續的，若對任何及，總有，使得成立，若在X上的每一點都是下半連續的，則稱是在X上下半連續的。稱集值映射是連續的，若它既是上半連續又是下半連續的。

相關概念

集值映射

對於兩個集合，如果按照一個對應關係(規則)，使得對於中的每一元素，都有中的一個(幾個)確定的元素與之對應，那么我們把這個對應關係叫做集合到集合的單值(多值)映射，多值映射也稱“集值映射”。通常用…等符號來代表映射，當表示一個由集合到集合的映射，那么記，或，對任意，對於任意集合，我們把集合叫做的象，而對任何集合，我們把集合叫做的原象(逆象)。

凹函式與凸函式

定義1對凸集上的函式，如果不等式

對任意的和任意成立，那么我們稱函式為上的凹函式。當不等式是嚴格不等式時，我們叫為嚴格凹函式。

類似可定義凸函式。凹函式圖像如圖1。

圖1

下面的定義都將限制集合是中的有界閉、凸集。

上半連續

定義2對多值映射序列，如果當且時有，那么，我們說映射是上半連續的。

當為單值映射時，以上就是它的連續性定義。

下半連續

定義3若從能夠推出存在使得則稱映射為下半連續。

由定義得知，要證明映射的下半連續性，就要找出滿足定義條件的序列來。

相關性質

線性組合

關於多值映射的線性組合，我們有如下定義。

定義4假定有幾個映射是上半連續的，是凸且有界閉的集合，那么映射

叫做映射的線性組合，並用記號。

定理1

假定集合是凸，有界閉集，定必在上的連續函式關於是凹的，那么映射

是上半連續的，且集合是非空凸、閉集。

定理2

假定集合X與Y是凸、有界閉集，函式定義在上，且對x與y分別是連續的，對y是凸的，如果存在，使得對所有滿足。那么映射既是上半連續又是下半連續，並且集合是非空，凸且閉的。

定理3

假定連續函式定義在上，其中是凸，有界閉集，對y是凹的，並且多值映射是上半且下半連續的，集非空，對任意是凸的。那么映射

是上半連續的，集合是非空，凸且有界閉的集合。

定理4

關於多值映射的線性組合，有如下結論。

上半連續映射的線性組合也是上半連續的。

定理5

下述的日本學者卡庫坦的多值映射不動點定理，在經濟數學中占有重要地位。

假定是凸且有界閉的中的子集，映射是上半連續的，集合是非空凸集，那么存在，使。