連續統假設

概念

連續統假設（continuum hypothesis），數學上關於連續統勢的假設。常記作CH。該假設是說，無窮集合中，除了整數集的基數，實數集的基數是最小的。

問題的提出

通常稱實數集即直線上點的集合為連續統，而把連續統的勢（大小）記作C1。

2000多年來，人們一直認為任意兩個無窮集都一樣大。直到1891年，G.康托爾證明：任何一個集合的冪集（即它的一切子集構成的集合）的勢都大於這個集合的勢，人們才認識到無窮集合也可以比較大小。

自然數集是最小的無窮集合，自然數集的勢記作阿列夫零。康托爾證明連續統勢等於自然數集的冪集的勢。是否存在一個無窮集合，它的勢比自然數集的勢大，比連續統勢小？這個問題被稱為連續統問題。

康托爾猜想這個問題的解答是否定的，即連續統勢是比自然數集的勢大的勢中最小的一個無窮勢，記作C1；自然數集的勢記作C0。這個猜想就稱為連續統假設。

問題已有的解決

1938年，K.哥德爾證明了CH對ZFC公理系統（見公理集合論)是協調的，1963年，P.J.科恩證明CH對ZFC公理系統是獨立的，是不可能判定真假的。這樣，在ZFC公理系統中，CH是不可能判定真假的。這是60年代集合論的最大進展之一。然而到了21世紀，前人的結論又開始被動搖了。

康托爾證明連續統的基數等於自然數集冪集的基數，並把它記作2^ℵ0(其中ℵ0讀作阿列夫零)。康托爾還把無窮基數按照從小到大的次序排列為ℵ0，ℵ1，…ℵa……其中a為任意序數，康托爾猜想，2^ℵ0=ℵ1。這就是著名的連續統假設（簡記CH）。一般來說，對任意序數a，斷定2^ℵa=ℵ(a+1)成立，就稱為廣義連續統假設（簡記GCH）。在ZF中，CH和選擇公理（簡記AC）是互相獨立的，但是由GCH可以推出AC。ZF加上可構造性公理(簡記V=L)就可以推出GCH，當然也能推出CH和AC。