正則基數

正則基數是一種特殊基數，如果a為極限序數，且cf (a) =a，則稱a為正則的。正則的基數稱為正則基數。由於正則的序數一定是基數，故人們對正則的序數、正則序數、正則的基數和正則基數這幾個概念不加區別地使用。

基本介紹

• 中文名：正則基數
• 外文名：regular cardinal
• 適用範圍：數理科學

定義

如果一個基數k等於它自己的共尾度，即，則稱𝑘為一個正則基數。事實上，任意滿足的序數（即任意非奇異序數）一定是一個基數，因此正則基數也可以定義為等於它自己共尾度的序數。

在ZFC中可以證明，任何後繼基數均為正則基數（這裡選擇公理是必須的）。另外，0和N₀是正則極限基數。在ZFC中不能證明存在任何其他正則極限基數（weakly inaccessible cardinal），不可數的正則極限基數也稱為弱不可達基數，是集合論研究中最弱的大基數。

正則性是基數的重要概念之一，它由德國數學家豪斯多夫(Hausdorff , F. ) 於1908年引入。

奇異基數

[singular cardinal]

一個非正則的基數稱為奇異基數，也即一個基數 k 稱為奇異基數若且唯若，其中cf(k)為 k 的共尾度。

在ZFC中最小的奇異基數是。

在集合論中僅次於著名的廣義連續統假設的命題是如下的奇異基數假設（singular cardinals hypothesis ，SCH）：對每個奇異基數 k ，若，則。

奇異基數假設比廣義連續統假設弱。但和廣義連續統假設一樣，奇異基數假設探討連續統函式的取值，並猜測它總是取到最小的可能值。現代集合論的研究表明，在某種大基數不存在的前提下，可以證明奇異基數假設在某些基數成立。換言之，由奇異基數假設在某些基數不成立，可以推出某些大基數存在的驚人結論。

另一方面，謝拉赫（S.Shelah）發明了pcf（可能共尾度）理論並在ZFC下證明了如下同樣驚人的定理：若是一個強極限基數（即對所有有窮序數，則。