緊基數

緊基數

緊基數(compact cardinal number)亦稱強緊基數,是一種大基數。一個不可數正則基數κ是緊的,如果對任何集合S,S上的每一個κ完全的濾子都擴充成S上的κ完全的超濾,每個緊基數κ都是可測的。但反之不然,即不是每個可測基數必須是緊的,故緊基數強於可測基數。

基本介紹

  • 中文名:緊基數
  • 外文名:compact cardinal number
  • 別稱:強緊基數
  • 所屬學科:數學(公理集合論)
  • 簡介:一種大基數
基本介紹,相關定義及定理,

基本介紹

強緊基數是一類很“大”的大基數,若對於任何無窮基數λ,語言Lκκ都是(λ,κ)緊的,且
,則稱基數κ是強緊基數,語言Lωω是(λ,ω)緊的,這兒λ是任意無窮基數,因而,強緊基數也是對無窮基數ω的某些性質進行推廣而得到的,開斯勒(H.J.Keisler)和波蘭學者塔爾斯基(A.Tarski)於1964年引入強緊基數的概念。
強緊基數必是可測基數,因而也必是弱緊基數,福平卡-赫巴契克於1966年證明了:若存在強緊基數,則對任何集合X,V≠L[X],這裡V是全集,L[X]是相對於X的可構造集,或說是從X出發的可構造集,以色列學者索洛韋(R.M.Solovay)於1974年用力迫法證明了:若κ是強緊基數,對於每個>κ的奇異強極限基數λ,有2λ+,亦即對於一些很特殊的、很大的基數,證明了廣義連續統假設是成立的。

相關定義及定理

設κ,λ為基數,
,令
設U是Pκ(λ)上的濾子,若對每一個
,則稱U是精細的(Fine)。
定義1 設κ為正則不可數基數,
為任意基數,稱κ為λ-強緊的充要條件為在Pκλ上存在非主的、精細的、κ-完全的超濾(或Pκλ上存在精細的測度)。
κ稱為強緊的充要條件為對所有
,κ是λ-強緊的。
定義2 設κ為正則不可數基數,
為任意基數,
(或
)為無窮語言,若對任意語句集Φ,|Φ|=λ,當
時,Φ’都有模型,則Φ有模型,那么稱
有(κ,λ)強緊性定理,稱
是強緊的,若對所有
有(κ,λ)-強緊性定理。
下列定理說明強緊來源於無窮語言的(κ,λ)一強緊性定理。
下面定理的證明請參考相應書籍。
定理3 設κ是正則基數,則下列命題等價:
[1]對任意S,S上每一個κ-完全超子可擴充成S上的超濾;
[2]對任何
上存在精細的測度;
[3]無窮語言
滿足強緊性定理。
定理4 若κ≤λ,則下列命題等價:
[1]κ是λ-強緊的.
[2]存在初等嵌入
,以κ為臨界點,使得當
時,有
,滿足
[3]若F是集合S上的任一κ-完全的濾子,它由基數≤λ的集所生成,則F可擴充的S上的κ-完全超濾。
推論5 強緊基數是可測基數。
定理6 (沃列克-赫貝西(Vopenka-Hrbacek)若存在強緊基數,則對任何
定理7 若λ為正則基數,
,κ是λ-強緊基數,則
定理8 若存在強緊基數,則在該基數以上的奇異基數,其奇異基數假定都成立(即若κ為強緊基數,λ>κ為奇異基數,則當
時有
)。
推論9 若κ是強緊基數,
為奇異強極限基數,則2λ+
下面給出可測基數與強緊基數之間關係的一個性質.
定理10(梅勞斯(Menas))若κ是可測基數,並且它是強緊基數的極限,則κ是強緊基數。
定義11 設κ為正則基數,
,函式t,使得
,則稱t為生長在Pκλ的元素P上的二元函式。
設M是滿足下列性質的函式族:
[1]若
,則t生長在Pκλ元素上,
[2]若
,則
[3]
(t生長在P上),
則稱M為二元(κ,λ)-網(Mess)(簡稱網)。
如果存在函式
,使得對每一個
,則稱f為M的解(Solution),這時M也稱為可解的。
定理12 設κ是不可及基數,
,則κ是λ-強緊的充要條件為每一個二元(κ,λ)-網可解。

相關詞條

熱門詞條

聯絡我們