希爾伯特（Hilbert D.,1862.1.23～1943.2.14）是二十世紀上半葉德國乃至全世界最偉大的數學家之一。他幾乎走遍了現代數學所有前沿陣地，從而把他的思想深深地滲透進了整個現代數學。希爾伯特是哥廷根數學學派的核心，他以其勤奮的工作和真誠的個人品質吸引了來自世界各地的年青學者，使哥廷根的傳統在世界產生影響。希爾伯特去世時，德國《自然》雜誌發表過這樣的觀點：現在世界上難得有一位數學家的工作不是以某種途徑導源於希爾伯特的工作。他像是數學世界的亞歷山大，在數學版圖上，留下了他那顯赫的名字。
基本介紹
- 中文名：希爾伯特23問
- 外文名：Hilbert D.
- 出生日期：1862.1.23
- 逝世日期：1943.2.14
- 職業：數學家
概念,榮譽,問題解決情況,連續統假設,算術公理的相容性,兩個等底等高四面體的體積相等問題,兩點間以直線為距離最短線問題,連續群的解析性,在任意數域中證明最一般的互反律,丟番圖方程的可解性,證明某類完備函式系的有限性,半正定形式的平方和表示,給定單值群微分方程解的存在性證明,某些數的無理性與超越性,素數問題,係數為任意代數數的二次型,用只有兩個變數的函式解一般的七次方程,用全等多面體構造空間,正則變分問題的解是否一定解析,代數曲線和代數曲線面的拓撲問題,物理學的公理化,將克羅克定理推廣到任意的代數有理域上去,舒伯特計數演算的嚴格基礎,一般邊值問題,由自守函式構成的解析函式的單值化,變分法的進一步發展出,影響,
概念
1900年，希爾伯特在巴黎數學家大會上提出了23個最重要的問題供二十世紀的數學家們去研究，這就是著名的"希爾伯特23個問題"。
1975年，在美國伊利諾斯大學召開的一次國際數學會議上，數學家們回顧了四分之三個世紀以來希爾伯特23個問題的研究進展情況。當時統計，約有一半問題已經解決了，其餘一半的大多數也都有重大進展。
榮譽
1976年，在美國數學家評選的自1940年以來美國數學的十大成就中，有三項就是希爾伯特第1、第5、第10問題的解決。由此可見，能解決希爾伯特問題，是當代數學家的無上光榮。
問題解決情況
下面摘錄的是1987年出版的《數學家小辭典》以及其它一些文獻中收集的希爾伯特23個問題及其解決情況：
連續統假設
（1963年美國數學家科亨已解決）
1874年，康托猜測在可列集基數和實數基數之間沒有別的基數，這就是著名的連續統假設。1938年，哥德爾證明了連續統假設和世界公認的策梅洛--弗倫克爾集合論公理系統的無矛盾性。1963年，美國數學家科亨證明連續假設和策梅洛--弗倫克爾集合論公理是彼此獨立的。因此，連續統假設不能在策梅洛--弗倫克爾公理體系內證明其正確性與否。希爾伯特第1問題在這個意義上已獲解決。
算術公理的相容性
（未解決，最好成績1936年德國人根茨）
歐幾里得幾何的相容性可歸結為算術公理的相容性。希爾伯特曾提出用形式主義計畫的證明論方法加以證明。1931年，哥德爾發表的不完備性定理否定了這種看法。1936年德國數學家根茨在使用超限歸納法的條件下證明了算術公理的相容性。
1988年出版的《中國大百科全書》數學卷指出，數學相容性問題尚未解決。
兩個等底等高四面體的體積相等問題
（1900年美國數學家馬克思·德恩已解決）
問題的意思是，存在兩個等邊等高的四面體，它們不可分解為有限個小四面體，使這兩組四面體彼此全等。M.W.德恩1900年即對此問題給出了肯定解答。
兩點間以直線為距離最短線問題
（未解決，最好成績1973年前蘇聯數學家波格列洛夫）
此問題提得過於一般。滿足此性質的幾何學很多，因而需增加某些限制條件。1973年，蘇聯數學家波格列洛夫宣布，在對稱距離情況下，問題獲得解決。
註：《中國大百科全書》說，在希爾伯特之後，在構造與探討各種特殊度量幾何方面有許多進展，但問題並未解決。
連續群的解析性
（1952年美國數學家格利森、蒙哥馬利、齊賓已解決）
一個連續變換群的李氏概念，定義這個群的函式不假定是可微的 這個問題簡稱連續群的解析性，即：是否每一個局部歐氏群都有一定是李群？中間經馮·諾伊曼（1933，對緊群情形）、龐德里亞金（1939，對交換群情形）、謝瓦莢（1941，對可解群情形）的努力，1952年由格利森、蒙哥馬利、齊賓共同解決，得到了完全肯定的結果。
在任意數域中證明最一般的互反律
（1921年日本數學家高木貞治和1927年德國數學家阿廷已解決）
丟番圖方程的可解性
（1970年前蘇聯數學家IO.B.馬季亞謝維奇證明該問題錯誤）
證明某類完備函式系的有限性
（1958年日本數學家永田雅宜證明錯誤）
這和代數不變數問題有關。1958年，日本數學家永田雅宜給出了反例。
半正定形式的平方和表示
（1927年德國數學家阿廷已解決）
一個實係數n元多項式對一切數組(x1,x2,...,xn) 都恆大於或等於0，是否都能寫成平方和的形式？1927年阿廷證明這是對的。
給定單值群微分方程解的存在性證明
（1905年德國人希爾伯特和1957年美國人羅爾已解決）
具有給定單值群的線性微分方程解的存在性證明已由希爾伯特本人（1905）和H.羅爾（1957）的工作解決。
某些數的無理性與超越性
素數問題
（未完全解決，2018年9月美國人麥可·阿蒂亞證明黎曼猜想，哥德巴赫猜想最好成績屬於1966年的中國數學家陳景潤，孿生素數猜想屬於2013年的中國數學家張益唐）
包括黎曼猜想、哥德巴赫猜想及孿生素數問題等。2018年9月，美國人麥可·阿蒂亞宣布他證明了黎曼猜想。哥德巴赫猜想的最佳結果屬於中國數學家陳景潤（1966），但離最解決尚有距離。目前孿生素數問題的最佳結果屬於另一位中國數學家張益唐。2013年5月，他證明了孿生素數猜想的一個弱化形式，發現存在無窮多差小於7000萬的素數對，從而在孿生素數猜想這個此前沒有數學家能實質推動的著名問題的道路上邁出了革命性的一大步。目前這一差值已被縮小至246.
係數為任意代數數的二次型
（未解決，最好成績屬於1929年H.哈塞和1936、1951年C.L.西格爾）
H.哈塞（1929）和C.L.西格爾（1936，1951）在這個問題上獲得重要結果。
用只有兩個變數的函式解一般的七次方程
（未解決，最好成績屬於1964年的維士斯金）
用全等多面體構造空間
（未解決，最好成績屬於1928年萊因哈特）
由德國數學家比勃馬赫（1910）、萊因哈特（1928）作出部分解決。
正則變分問題的解是否一定解析
（未解決）
對這一問題的研究很少。C.H.伯恩斯坦和彼得羅夫斯基等得出了一些結果。
代數曲線和代數曲線面的拓撲問題
（未解決）
這個問題分為兩部分。前半部分涉及代數曲線含有閉的分枝曲線的最大數目。後半部分要求討論 的極限環的最大個數和相對位置，其中X、Y是x、y的n次多項式.蘇聯的彼得羅夫斯基曾宣稱證明了n=2時極限環的個數不超過3，但這一結論是錯誤的，已由中國數學家舉出反例（1979）。
物理學的公理化
（未解決）
希爾伯特建議用數學的公理化方法推演出全部物理，首先是機率和力學。1933年，蘇聯數學家柯爾莫哥洛夫實現了將機率論公理化。後來在量子力學、量子場論方面取得了很大成功。但是物理學是否能全盤公理化，很多人表示懷疑。
將克羅克定理推廣到任意的代數有理域上去
（未解決）
將阿貝爾域上的克羅克定理推廣到任意的代數有理域上去 這一問題只有一些零星的結果，離徹底解決還相差很遠。
舒伯特計數演算的嚴格基礎
（未解決）
一個典型問題是：在三維空間中有四條直線，問有幾條直線能和這四條直線都相交？舒伯特給出了一個直觀解法。希爾伯特要求將問題一般化，並給以嚴格基礎。現在已有了一些可計算的方法，它和代數幾何學不密切聯繫。但嚴格的基礎迄今仍未確立。
一般邊值問題
（未解決）
這一問題進展十分迅速，已成為一個很大的數學分支。目前還在繼續研究。
由自守函式構成的解析函式的單值化
（未解決，最好成績屬於1907年克伯）
它涉及艱辛的黎曼曲面論，1907年P.克伯獲重要突破，其他方面尚未解決。
變分法的進一步發展出
（未解決）
這並不是一個明確的數學問題，只是談了對變分法的一般看法。20世紀以來變分法有了很大的發展。
影響
由於希爾伯特個人巨大的影響，使得許多數學家研究他的問題，很大程度上促進了數學的發展。還有些問題至今沒有解決，最有名的當然是黎曼猜想，這都成為了人們殫心竭慮的焦點。在此我不一一羅列那些無論是肯定還是否定他初始問題的結果，而要說說它們更重要的影響是讓數學家明白提出有吸引力的問題是多么重要。二十世紀依然有很多重要的問題，比如Weil猜想，或多或少它們的提出都受希爾伯特問題的影響，這才是希爾伯特提出問題的最大貢獻。
