輔助角公式

輔助角公式是李善蘭先生提出的一種高等三角函式公式，使用代數式表達為asinx+bcosx=√(a²+b²)sin[x+arctan(b/a)]（a>0）。雖然該公式已經被寫入中學課本，但其幾何意義卻鮮為人知。

基本介紹

• 中文名：輔助角公式
• 外文名：The auxiliary Angle formula
• 別稱：三角函式輔助角公式
• 表達式：asinx+bcosx=√(a2+b2)sin(x+\arctan(b/a))
• 提出者：李善蘭
• 提出時間：19世紀
• 套用學科：數學、物理
• 適用領域範圍：數學、物理學

公式內容

該公式的主要作用是將多個三角函式的和化成單個函式，以此來求解有關最值問題。

推導過程

對於型函式，我們可以如此變形

為利用兩角和差公式化簡，

設

使

（注意到a必須>0）

其等價於

則

即

或

幾何理解方式

提出問題

如何找出輔助角公式的幾何意義呢？或者說，這個公式中的各個量之間有著怎樣的聯繫呢？

對於這樣一個複雜的公式，不確定的量太多了。

分析意義

我們需要分析公式中每一個量的意義。

先看等式左邊：兩個分別增大（或減小）一定倍數的正弦與餘弦函式的和。

再看等式右邊：一個增大（或減小）一定倍數並且被改變了初相的正弦函式。

從代數意義上講，輔助角公式是為了對幾個同頻率的正弦型函式（）求和，轉化為一個單獨的正弦型函式而誕生的。頻率相同意味著相同，所以對於輔助角公式而言，為了方便起見，我們只討論時的特殊情況。在這種情況下，對於一個正弦型函式，我們只有（增大的倍數）與（初相） 兩個量需要討論。

我們可以把看作大小，把看作角度。而角度和大小恰是極坐標系確定位置的兩個要素。

輔助角公式與極坐標系有什麼關係嗎？

簡化驗證

簡化問題，使，得

又因為，則

而在極坐標系中平面向量的加和即為

（如右圖）

兩者之間有異曲同工之妙。

由此可見，我們的猜想得到了一定的驗證。

即與都只是單位向量，而兩者是單位向量的變化幅度，是兩向量和的模，則是和向量與橫軸的夾角。

推廣延伸

之前的驗證只是對簡化後的結果進行的，即。其實，這一結果具有普適性。

譬如

你可以自己找幾個例子，多試幾次。

註：這種幾何意義同樣適合推導誘導公式等部分三角函式恆等變換公式，但三角函式間乘法不等價於單位向量間點乘（即數量積）。

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另外，該幾何意義也與矩陣有部分聯繫。

即獲得的向量和可以通過該矩陣計算

(以平面直角坐標係為基準，而非極坐標系)

疑問

為什麼在推導輔助角公式的時候要令輔助角的取值範圍為？其實是在分類討論a>0或b>0的時候，已經把輔助角的終邊限定在一、四象限內了，此時輔助角的範圍是。而根據三角函式的周期性可知加上後函式值不變，況且在內輔助角可以利用反正切表示，使得公式更加簡潔明了。

提出者

李善蘭，原名李心蘭，字竟芳，號秋紉，別號壬叔。出生於1811年 1月22日，逝世於1882年12月9日，浙江海寧人，是中國近代著名的數學、天文學、力學和植物學家，創立了二次平方根的冪級數展開式，研究各種三角函式，反三角函式和對數函式的冪級數展開式（現稱“自然數冪求和公式”），這是李善蘭也是19世紀中國數學界最重大的成就。

例題計算

例1

求的最大值

解：

設

則

由輔助角公式易得：

整理，得：

令

則

故

又有

易知：

例2

化簡5sina-12cosa

解：5sina-12cosa

=13(5/13*sina-12/13*cosa)=13(cosbsina-sinbcosa)

=13sin(a-b)

其中，cosb=5/13,sinb=12/13

例3

π/6≤a≤π/4 ,求sin²a+2sinacosa+3cos²a的最小值

解：令f(a)=sin²a+2sinacosa+3cos²a

=1+sin2a+2cos²a

=1+sin2a+(1+cos2a)(降冪公式)

=2+(sin2a+cos2a)

=2+（√2）sin(2a+π/4)(輔助角公式)

因為7π/12≤2a+π/4≤3π/4

所以f(a)min=f(3π/4)=2+(√2)sin(3π/4)=3

記憶

很多人在利用輔助角公式時，經常忘記反正切到底是b/a還是a/b，導致做題出錯。其實有一個很方便的記憶技巧，就是不管用正弦還是餘弦來表示asinx+bcosx，分母的位置永遠是你用來表示函式名稱的係數。

例如用正弦來表示asinx+bcosx，則反正切就是b/a（即正弦的係數a在分母）。如果用餘弦來表示,那反正切就要變成a/b（餘弦的係數b在分母）。