基本介紹
- 中文名:數量積
- 外文名:dot product; scalar product
- 別名:標量積、點積、內積、向量的積
- 運算類型:二元運算
- 點積的三個值:u、v、u,v夾角的餘弦
- 點積的值:u,v的點積=|u||v|cos<u,v>
- 套用學科:線性代數
定義,廣義定義,代數定義,幾何定義,定義的等價性,點積的值,運算律,套用,
定義
廣義定義
代數定義
設二維空間內有兩個向量
和
,定義它們的數量積(又叫內積、點積)為以下實數:
![](/img/0/1b3/9c25675f01979573be753b653c0c.jpg)
![](/img/8/7e3/b1f919614977145bb9fc3b57be2d.jpg)
![](/img/4/156/eda7937a94c29ff78db444ace2b6.jpg)
![](/img/9/92e/df459f36b0fca77d2f4da3a92061.jpg)
幾何定義
設二維空間內有兩個向量
和
,
和
表示向量a和b的大小,它們的夾角為
,則內積定義為以下實數:
![](/img/7/bc8/c5a416387fbf0059214e4a94acc5.jpg)
![](/img/7/1f2/f62499404366b66d1020636440d3.jpg)
![](/img/2/dc7/1b5e4a12e2de3da5701b41e2706a.jpg)
![](/img/7/b3d/d27c68d210a1d58b04d6407712c0.jpg)
![](/img/7/1b3/8d04e517cb913ca4ab138cb034c9.jpg)
![](/img/b/61e/88e172d92560cc4abd6cdd3832b8.jpg)
該定義只對二維和三維空間有效。
這個運算可以簡單地理解為:在點積運算中,第一個向量投影到第二個向量上(這裡,向量的順序是不重要的,點積運算是可交換的),然後通過除以它們的標量長度來“標準化”。這樣,這個分數一定是小於等於1的,可以簡單地轉化成一個角度值。
定義的等價性
以三維空間為例子。
①幾何定義推導代數定義
設
,
,根據向量坐標的意義可知
![](/img/2/2a0/6d1a337803b0890fe646a819c3ec.jpg)
![](/img/e/3b6/f03d86fe3b40a36bad57f87aa177.jpg)
![](/img/0/576/cb587874e4c59293b11fbfb7d290.jpg)
![](/img/d/6e5/f307f50c33814fd47d2eebaef8d3.jpg)
根據點乘的分配律得
![](/img/a/81a/31f267423635b11610f6b1d6eb99.jpg)
![](/img/3/8c6/55f5dcb71b9e2d69b00bcf8c20d2.jpg)
又
![](/img/5/767/5d78c44ef78672c8152147fcc205.jpg)
,![](/img/3/939/28477bfa55da7054e39b49c58c93.jpg)
![](/img/3/939/28477bfa55da7054e39b49c58c93.jpg)
所以
![](/img/e/68f/53bbe3628d7c3612354a1f5c0d6e.jpg)
![](/img/e/68f/53bbe3628d7c3612354a1f5c0d6e.jpg)
點乘分配律的幾何證明:
(a+b)·c=a·c+b·c
c=0時上式是成立的;
c≠0時,(a+b)·c=|c|*Prjc(a+b)=|c|(Prjc(a)+Prjc(b))=|c|*Prjc(a)+|c|*Prjc(b)=a·c+b·c
②代數定義推導幾何定義
設
,
,它們的終點分別為
和
,原點為O,
夾角為
。則![](/img/d/bd1/10052cfcc4e6e2a42fa678fb4a6a.jpg)
![](/img/2/2a0/6d1a337803b0890fe646a819c3ec.jpg)
![](/img/e/3b6/f03d86fe3b40a36bad57f87aa177.jpg)
![](/img/5/377/88e683d6f9d918269c8e5c6963f8.jpg)
![](/img/2/fae/9080b4827c5545f04d8096e0aedd.jpg)
![](/img/5/f44/87217d11bfa71e74bd7669457cea.jpg)
![](/img/b/e27/78eb8ca0663ec42224bea02d5532.jpg)
![](/img/d/bd1/10052cfcc4e6e2a42fa678fb4a6a.jpg)
在△OAB中,由余弦定理得:
![](/img/4/09b/3ac5c9fc44e02d07b5f3aa192af4.jpg)
![](/img/3/892/1d7cfb7d1635fe4617441ae0f667.jpg)
![](/img/0/855/e72fbac80421f9f0942666cc59c3.jpg)
注意:餘弦定理和距離公式亦無需向量知識。
點積的值
u的大小、v的大小、u,v夾角的餘弦。在u,v非零的前提下,點積如果為負,則u,v形成的角大於90度;如果為零,那么u,v垂直;如果為正,那么u,v形成的角為銳角。
![點積 點積](/img/d/68a/cGcq5CM4EWYxMTO3EDO2ImN1U2MwYmN2UGMyAzLtVGdp9yYpB3LltWahJ2Lt92YuUHZpFmYuMmczdWbp9yL6MHc0RHa.jpg)
兩個單位向量的點積得到兩個向量的夾角的cos值,通過它可以知道兩個向量的相似性,利用點積可判斷一個多邊形是面向攝像機還是背向攝像機。
向量的點積與它們夾角的餘弦成正比,因此在聚光燈的效果計算中,可以根據點積來得到光照效果,如果點積越大,說明夾角越小,則物體離光照的軸線越近,光照越強。
運算律
交換律:![](/img/6/6c3/007bd8c4d8b824166bfaca94877b.jpg)
![](/img/6/6c3/007bd8c4d8b824166bfaca94877b.jpg)
分配律:![](/img/5/3cb/7235a1f052de52d0eff1451a52cf.jpg)
![](/img/5/3cb/7235a1f052de52d0eff1451a52cf.jpg)
結合律:
,其中m是實數。
![](/img/5/f5b/fe296ff5512b6b98723401ef06fc.jpg)
套用
平面向量的數量積a·b是一個非常重要的概念,利用它可以很容易地證明平面幾何的許多命題,例如勾股定理、菱形的對角線相互垂直、矩形的對角線相等等。如證明:
(1)勾股定理: Rt△ABC中,∠C=90°,則|CA|2+|CB|2=|AB|2。![點積(點乘) 點積(點乘)](/img/5/533/nBnauUmNldTNykTOlZGMlVjZkJjYiVzN3ATNiVWZ0kDN1MGOmhDNiVGZyY2LtVGdp9yYpB3LltWahJ2Lt92YuUHZpFmYuMmczdWbp9yL6MHc0RHa.jpg)
![點積(點乘) 點積(點乘)](/img/5/533/nBnauUmNldTNykTOlZGMlVjZkJjYiVzN3ATNiVWZ0kDN1MGOmhDNiVGZyY2LtVGdp9yYpB3LltWahJ2Lt92YuUHZpFmYuMmczdWbp9yL6MHc0RHa.jpg)
∵AB = CB-CA
∴AB2=(CB-CA)2= CB·CB-2CA·CB+CA·CA
又∵ ∠C=90°,有CA⊥CB,於是CA·CB=0
∴ AB2=AC2+BC2
(2)菱形對角線相互垂直:菱形ABCD中,點O為對角線AC、BD的交點,求證AC⊥BD。
設 |AB|=|BC|=|CD|=|DA|=a
∵AC=(AB+BC),BD=(BC+CD)
∴AC·BD=(AB+BC)·(BC+CD)=a2cos(π-α)+a2-a2+a2cosα
又∵ cosα=-cos(π-α)
∴AC·BD=(AB+BC)·(BC+CD)=0![點積(點乘) 點積(點乘)](/img/2/87c/nBnaukjYjJDZmJzYlN2MjNmZ4MGM4cjZiZmZzIGOycTMxQ2YxEWYiBDMwQ2LtVGdp9yYpB3LltWahJ2Lt92YuUHZpFmYuMmczdWbp9yL6MHc0RHa.jpg)
![點積(點乘) 點積(點乘)](/img/2/87c/nBnaukjYjJDZmJzYlN2MjNmZ4MGM4cjZiZmZzIGOycTMxQ2YxEWYiBDMwQ2LtVGdp9yYpB3LltWahJ2Lt92YuUHZpFmYuMmczdWbp9yL6MHc0RHa.jpg)
∴AC⊥BD
在生產生活中,點積同樣套用廣泛。利用點積可判斷一個多邊形是否面向攝像機還是背向攝像機。向量的點積與它們夾角的餘弦成正比,因此在聚光燈的效果計算中,可以根據點積來得到光照效果,如果點積越大,說明夾角越小,則物理離光照的軸線越近,光照越強。物理中,點積可以用來計算合力和功。若b為單位矢量,則點積即為a在方向b的投影,即給出了力在這個方向上的分解。功即是力和位移的點積。計算機圖形學常用來進行方向性判斷,如兩矢量點積大於0,則它們的方向朝向相近;如果小於0,則方向相反。矢量內積是人工智慧領域中的神經網路技術的數學基礎之一,此方法還被用於動畫渲染(Animation-Rendering)。
線性變換中點積的意義:
根據點積的代數公式:a·b=a1b1+a2b2+……+anbn,假設a為給定權重向量,b為特徵向量,則a·b其實為一種線性組合,函式F(a·b)則可以構建一個基於a·b+c = 0 (c為偏移)的某一超平面的線性分類器,F是個簡單函式,會將超過一定閾值的值對應到第一類,其它的值對應到第二類。