基本情況
相關介紹
我們都知道,
愛因斯坦的質能公式
E=MC2的推導過程所用的數學手段是如此的複雜,以致我們一般人根本看不懂。但是,我們都有這樣的經歷,做一道數學題,往往有很多種方法,並且有一些還是十分簡單,通常是事半功倍。同樣道理,我們可不可以走捷徑,弄出個
E=MC2來呢?
事實上是有那么一種“不正統”的方法。咱們不妨來看一下:
實驗
想像一下,一個小球掉到鏡面會對鏡面施加一個
壓力,同樣道理,一個
光子打到鏡面上會不會也有一個壓力呢?在19世紀末,
物理光學就清楚應該是有的,並把這種
壓力叫做
光壓。但是,光壓的強度是如此的小,它根本不會把鏡子推倒,所以,我們在日常生活中也就很難感覺到它的存在了。然而,太陽發出的光是那么的強,我們可以看到,它足以推動
彗星的
氣體,使彗星在靠近太陽時產生一條長長的、耀眼的
彗尾,這就是光壓的作用。
技術推法
第一步:要討論能量隨
質量變化,先要從
量綱得知思路:能量量綱
,即能量量綱等於質量量綱和
長度量綱的
平方以及
時間量綱的負二次方三者乘積。我們需要把能量對於質量的函式形式化簡到最簡,那么就要求能量函式中除了質量,最好只有一個其它的變數。把[L]
2、[T]
-2化簡,可以得到只有一個量綱-速度[
]的形式:[
]·[
]。也就是
可見我們要討論
質能關係,最簡單的途徑是從速度
下手。
第二步:先要考慮能量的變化 與能量的變化有關的有各種能量形式的轉化,其中直接和質量有關的只有做功。那么先來考慮做工對於能量變化的影響。當外力
作用在
靜止質量為m
0質點上時,每產生
(位移
的
微分)的位移,物體能量增加
。考慮最簡化的
外力與
位移方向相同的情況,上式變成 dE=
Fds第三步:怎樣把力做
功和速度v變化聯繫起來呢?也就是說怎樣來通過
力的作用效果來得出速度的變化呢? 我們知道力對物體的
衝量等於物體動量的
增量。那么,通過
動量定理,力和能量就聯繫起來了:
第四步:上式中顯然還要參考m質量這個變數,而我們不想讓質量的加入把我們力和速度的關係複雜化。我們想找到一種辦法約掉m,這樣就能得到純粹的速度和力的關係。參考dE=
Fds和
,我們知道,
那么可以得到
如果考慮最簡單的形式:當速度改變和動量改變方向相同:dE=vdP
第五步:把上式化成能量和質量以及速度三者的關係式(因為我們最初就是要討論這個形式):dE=vd(mv)----因為dP=d(mv)
第六步:把上式按照微分乘法分解 dE=v
2dm+mvdv 這個式子說明:能量的增量含有質量因速度增加而增加dm產生的能量增量和單純速度增加產生的能量增量2個部分。(這個觀點非常重要,在相對論之前,人們雖然在理論物理推導中認識到質量增加也會產生能量增量,但是都習慣性認為質量不會隨
運動速度增加而變化,也就是誤以為dm恆定為0,這是經典物理學的最大錯誤之一。)
第七步:我們不知道質量隨速度增加產生的增量dm是怎樣的,現在要研究它到底如何隨速度增加(也就是質量增量dm和速度增量dv之間的直接關係):根據
洛侖茲變換推導出的
靜止質量和
運動質量公式:m=m
0[1-(v
2/c
2)]
-1/2 化簡成整數次冪形式:m
2=m
02[1-(v
2/c
2)] 化成沒有分母而且m和m
0分別處於等號兩側的形式(這樣就是得到運動質量m對於速度變化和靜止質量的純粹的函式形式):m(c
2-v
2)=m
02·c
2 用上式對速度v
求導得到dm/dv(之所以要這樣做,就是要找到質量增量dm和速度增量dv之間最直接的關係,我們這一步的根本目的就是這個):d[m
2(c
2-v
2)]/dv=d(m
02·c
2)/dv(注意式子等號右邊是常數的求導,結果為0) 即 [d(m
2)/dv](c
2-v
2)+m
2[d(c
2-v
2)/dv]=0 即 [m(dm/dv)+m(dm/dv)](c
2-v
2)+(m
2)[0-2v]=0 即 2m(dm/dv)(c
2-v
2)-2vm
2=0 約掉公因式2m(肯定不是0,呵呵,運動質量為0?沒聽說過) 得到:(dm/dv)(c
2-V
2)-mv=0 即 (dm/dv)(c
2-V
2)=mv 由於dv不等於0(我們研究的就是非靜止的情況,運動系速度對於靜止系的增量當然不為0) (c
2-v
2)dm=mvdv 這就是我們最終得到的dm和dv的直接關係。
第八步:有了dm的函式,代回到我們第六步的能量增量式 dE=v
2dm+mvdv =v
2dm+(c
2-v
2)dm =c
2dm 這就是
質能關係式的
微分形式,它說明:質量的增量與能量的增量成正比,而且
比例係數是常數c
2。
最後一步:推論出物體從靜止到運動速度為v的過程中,總的能量增量:對上一步的結論進行積分,積分區間取質量從
靜止質量m0到
運動質量m,得到 ∫dE=∫[m0~m]c
2dm 即 E=mc
2-m
0c
2 這就是 物體從靜止到運動速度為v的過程中,總的能量增量。其中 E
0=m
0c
2稱為物體靜止時候的靜止能量。Ev=mc
2稱為物體運動時候的總動能(運動總能量)。對於任何已知運動質量為m的物體,可以用E=mc
2直接計算出它的運動動能
相關公式
1899年,俄國物理學家
列別捷夫就通過實驗證明了
光壓的存在,並且還發現了一個這樣的關係式,如果我們用P表示光壓,E作為光的能量,老規矩,c是光速,那么可以得到
好。現在假設單位時間t內的光子“撞”到鏡面上,並且反彈了回來,這個過程中產生的光壓為P。我們取光子“撞”向鏡面的方向為正方向。根據我們學過的那個
動量定理(力乘以時間等於動量的變化那個),對光子來說,於是有
我們上面說了t是單位時間,也就是t=1,所以
約去2,兩邊乘以c
看到了沒有,這種“不正統”的方法看來還有點管用!
其他
順便說一下,上面用的m指的是光子的質量。光子有質量?是的,我們說的是光子的
引力質量,光有引力質量,而沒有
慣性質量,這是相對論中的知識。正因為光沒有慣性質量,所以才能以光速運動,在
廣義相對論中,光子具有引力質量。
好了,看來“不正統”的東西有時比“正統”的更容易明白。
是否違背定律
質能方程並不違反
質量守恆定律,質量守恆定律是指在任何與周圍隔絕的體系中,不論發生何種變化或過程,其總質量始終保持不變。或者說,化學變化只能改變物質的組成,但不能創造物質,也不能消滅物質,所以該定律又稱
物質不滅定律。而質能方程是表述了
質量和能量之間關係,所以不違背質量守恆定律。
質能方程的英文讀法 E equals M C squared. E is equal to M C squared. 也可以用解釋的方法念 Energy is equal to mass multiplied by the square of the speed of light.
舉個例子:某人把一粒沙子以光速百分之99.7的速度扔向一堵牆壁,牆會發出巨響並出現裂縫;以光速百分之99.9扔的話那面牆將不復存在~~~ 上面這個例子不太準確,當一粒沙子以接近光速飛行時,首先此情況要發生在真空中,否則沙子早由於與空氣的摩擦熔化掉了。其次,由於沙子速度非常高,它會直接穿過牆壁。根據
動量守恆定律及
質量守恆定律,設沙子質量為m
1,以光速C飛行,撞擊牆壁後帶走的那部分質量為m
2,其後整體速度為V,則有m
1c=(m
1+m
2)V,穿過牆產生的熱量為Q=0.5m
1c
2-0.5(m
1+m
2)V
2