賦值論

賦值論(valuation theory)是域論的一個重要分支。它是研究交換代數的一個工具。特別是在代數數論、分歧理論、類域論和代數幾何中有極為重要的套用。

域論（Field Theory）是抽象代數的分支，研究域的性質。簡單地說，一個域是在其上有"加法"、"減法"、"乘法"和"除法"的代數結構。

基本介紹

• 中文名：賦值論
• 外文名：valuation theory
• 領域：數學
• 學科：域論
• 意義：研究交換代數的工具
• 套用：代數數論、分歧理論、類域論

概念

賦值論(valuation theory)是域論的一個重要分支。它是研究交換代數的一個工具。特別是在代數數論、分歧理論、類域論和代數幾何中有極為重要的套用。通常的賦值可分為加法與乘法賦值兩類，有時簡稱賦值。從賦值出發，可以給原來的域一個拓撲結構，使之成為拓撲域。賦值理論肇始於屈爾沙克(Kiirschak,J.)於1913年發表的論文。賦值、賦值域這些名稱都是他首先引人的。其後，經過奧斯特洛夫斯基(Ostrowski,A. M.)等人的工作，解決了屈爾沙克在論文中提出的問題，並發展了這一理論。1932年，克魯爾(Krull , W.)發表了題為《一般賦值理論》的基本論文，從而奠定了賦值論這一分支的基礎.時至今日，賦值理論已逐漸越出了“域”的界限，在許多代數結構上，例如群、環、向量空間等，也用多種方式引進賦值，並由此對這些結構作算術理論的研究。此外，賦值論還滲人泛函分析的領域，發展了所謂非阿基米德泛函分析。

域論

域論（Field Theory）是抽象代數的分支，研究域的性質。簡單地說，一個域是在其上有"加法"、"減法"、"乘法"和"除法"的代數結構。

域的概念最初被阿貝爾和伽羅瓦隱含地用於他們各自對方程的可解性的工作上。

1871年，理察·戴德金將對於四則運算封閉的實數或複數集稱為“域”。

1881年，利奧波德·克羅內克定義了“有理域”（英文：domain of rationality，德文：Rationalitäts-Bereich），相當於今稱之數域。

1893年，安里西·韋伯給出抽象域的首個清晰定義。

1910年，施泰尼茨於1911年發表了論文《域的代數理論》（英文：Algebraic Theory of Fields、德文：Algebraische Theorie der Körper）。論文中他以公理化的方式研究了域的性質並給出了多個域的有關術語，比如素域、完全域，和域擴張的超越次數。

雖然伽羅瓦並未提出域的概念，但一般被譽為是首個將群論和域論連繫起來的數學家，伽羅瓦理論便以他命名。事實上，埃米爾·阿廷在1928至42年間才將群和域的關係大大地發展。

交換代數

在抽象代數中，交換代數旨在探討交換環及其理想，以及交換環上的模。代數數論與代數幾何皆奠基於交換代數。交換環中最突出的例子包括多項式環、代數整數環與p進數環，以及它們的各種商環與局部化。

由於概形無非是交換環譜的黏合，交換代數遂成為研究概形局部性質的主要語言。

作為代數幾何的代數工具，還需要比交換環更進一步的代數結構，這就是「環上的代數」。A稱為環R上的代數（或簡稱為R代數），是指：①(A,+ ,·)為環，②（A，+）為R 模，③對於每個r∈R，α、b∈A，r(αb)=(rα)b=α(rb)。若A又是交換環，則稱A為R上的交換代數。R上的交換代數A稱為有限生成的，是指存在有限個元素，使得。　設k為域，為多項式環，是R 的商域。著名的希爾伯特第14問題是對於k和E的每箇中間域l，l∩R作為k代數都是有限生成的。利用不變數理論，日本數學家中田於20世紀70年代舉出反例，否定了希爾伯特這個猜想,雖然這個猜想在n=1時是正確的。
設k是代數封閉域，kⁿ中代數簇V對應著的根式理想U，則V的仿射坐標環是k上有限生成的交換代數，並且沒有非零的冪零元素。反之，k上每個這種類型的交換代數均是k上某個代數簇的仿射坐標環，並且從代數簇V到代數簇W的多項式映射誘導出k[W]到k[V]的k代數同態。從而V和W同構(即存在互逆的兩個多項式映射)的充分必要條件是k[W]和k[V]作為k代數是同構的。於是，k上代數簇的同構分類相當於一種特殊類型的k上交換代數的同構分類。

人物簡介

屈爾沙克

屈爾沙克(Kiirschak, Jozsef,1864-1933)匈牙利數學家。生於匈牙利的布達(Buda)，卒於布達佩斯。1886年畢業於布達佩斯工科大學，1890年獲博士學位。此後一直在該校任教，1900年成為教授.1914年被選為匈牙利科學院院士。

屈爾沙克為賦值論的建立做出了貢獻，利用“賦值”成功地推廣了絕對值的概念，證明了任何賦值域能靠添加新元素而擴充為一個代數封閉的“完全”域。在變分學中，他研究了微分方程在切觸變換下的不變性；給出了二階微分表達式屬於多重積分變分的微分方程的充分必要條件。屈爾沙克培養了許多學生，有些學生後來成了優秀的數學家或物理學家，馮·諾伊曼(von Neumann , J.)就是其中的一個。

奧斯特洛夫斯基

瑞士數學家。生於俄國基輔，卒於瑞士盧加諾。早年就讀於德國馬爾堡，後轉到哥廷根大學，曾做過克萊因(Klein，(C.)F.)的助手，1920年獲博士學位。1921—1922年任教於漢堡大學和哥廷根大學，後到英國牛津大學和愛丁堡大學做研究工作，1927年被聘為瑞士巴塞爾大學教授，1958年退休。

奧斯特洛夫斯基的工作涉及純粹數學和套用數學的多個分支，並做了許多有深遠影響的貢獻。他在博士論文中解決了與希爾伯特第18問題有關的問題。他在賦值理論、埃爾米特矩陣、ζ函式、擬解析函式和函式方程與函式不等式等方面都做過基礎性工作。他在1929年得到了“每一個可加的，在正測度集的一邊有界的實函式是線性函式”的結果，該結論至今尚未有實質性改進。20世紀30年代後期和50年代，他的研究工作轉向了數值計算，工作涉及到數值保形映射、矩陣方程理論和矩陣計算等。他在疊代過程、穩定性和巴拿赫空間中方程的“數值”解等方面曾做過基礎性工作。著作有《方程與方程組的解》(1960)，第二版改成了《歐幾里得與巴拿赫空間中的方程解》(1973)。他所撰寫的論文全部收入了他的《數學文集》(1—6，1983—1985)中。

克魯爾

德國數學家。生於巴登—巴登(Baden—Baden)，在波恩工作。他是E.諾特、阿廷所創立的德國代數學派的代表人物，對諾特環和一般交換環論的發展做出了重要貢獻。1926年，他建立了帶運算元阿貝爾群和群的線性表示兩個概念的關係，這一問題後來為E.諾特進一步發展。1928年，他發展了無限伽羅華擴張理論，建立了以他的名字命名的克魯爾拓撲。同年他還把有限半單模的一般理論推廣到任意半單模上。後來，他又引進了局部環的理論。在交換環理論中，有著名的關於克魯爾有界本原環的理想的定理，整環R叫作克魯爾環，諾特環理論中，有克魯爾交定理、高度定理，等等。1932年以後開始研究一般賦值論及局部環理論。主要專著有《理想理論》(Idealtheorie，1935;1968第2版)等。