正規賦值(canonical valuation)是由賦值建立賦值環的逆問題所決定的賦值。給定域F上的賦值環B，可建立F上的賦值φB，使得φB的賦值環為B，這樣的φB稱為B確定的正規賦值。
基本介紹
- 中文名：正規賦值
- 外文名：canonical valuation
- 領域：數學
- 學科：賦值論
- 性質：賦值
- 環：賦值環
概念,賦值環,局部環,有序群,賦值論,
概念
正規賦值(canonical valuation)是由賦值建立賦值環的逆問題所決定的賦值。給定域F上的賦值環B，可建立F上的賦值φB，使得φB的賦值環為B，這樣的φB稱為B確定的正規賦值。正規賦值可如下建立：若B為F的賦值環，VB是B中的單位群，F=F-{0}，則可使Γ=F/VB成為有序群。規定φB： F→Γ∪{0}如下：φB(a)=aVB， φ(0)=0，φB稱為由B所確定的正規賦值。若從F的一個賦值開始，先得出它的賦值環B，再由B作出它的正規賦值φB，則φ與φB等價。
賦值環
一種特殊的局部環。也是重要的交換環類。交換環R稱為賦值環，是指它滿足以下等價條件之一：
1.對任意a，b∈R，恆有a∈Rb或b∈Ra，換言之，必有a整除b或b整除a。
2.R的所有理想(對於包含關係)組成線性序集。
3.R是局部環且任意有限生成理想是主理想。滿足條件3的環也稱為貝祖特環。
賦值環是交換的特殊序列環。它與戴德金環有密切的關係。事實上，交換諾特局部整環是賦值環若且唯若它是戴德金環。賦值環上的模具有良好的分解性質，馬特利斯(Matlis，E.)於1957年證明：賦值環R上任意有限生成模M的內射包E(M)是有限個不可分解內射模的直和，或等價於M有有限哥爾迪維數。賦值環R上任意有限表示模是循環表示模的直和，從而推廣了卡普蘭斯基(Kaplansky，I.)的工作。
局部環
它和半局部環分別是完全準素環和半準素環概念的推廣。環R(≠0)中，若不可逆元(即非單位)集A對於加法是封閉的，則R稱為局部環。以下性質是等價的：
1.R是局部環。
2.R中不可逆元的集A是(雙邊)理想。
3.A是極大左(右)理想。
4.對於任意r∈R，r或1-r必是左(右)可逆元。
5.R的雅各布森根J(R)是極大左(右)理想。
6.R/J(R)是除環。
7.J(R)=A={x∈R|Rx≠R}(x稱為非生成子)。
若R/R(J)是半單的，則稱R是半局部的。局部環的概念對於模的分解性質十分重要。對於任意R模M，若M的自同態環End(M)是局部的，則M是不可分解的。反之，若M是不可分解且是內射的，則End(M)是局部環。東屋五郎(Azumaya，G.)曾利用局部環的概念，把古典的克魯爾-銳瑪克-施密特定理推廣為項數可以是無窮的情形。局部環也具有特殊的同調性質。卡普蘭斯基(Kaplansky，I.)於1958年證明：對於局部環R，任意R投射模是R自由的。
有序群
帶有全序的一個交換乘(加)群。關於有序乘(加)群，下面兩個定義是等價的：
1.Γ是一個階大於1的交換乘(加)群，即Γ≠{1}({0})，若Γ中有非空子集Δ滿足：
1) 1Δ(0Δ)。
2) 對Γ中的每一個元素λ≠1(λ≠0)，必有λ∈Δ或者λ∈Δ(-λ∈Δ)。
3) Δ對乘法(加法)封閉，
則稱Γ為一個有序乘(加)群，或者稱為由Δ所定義的有序乘(加)群。
2.Γ是一個交換群，若Γ上定義了一個二元關係≤，滿足下麵條件：
1) 對於每個λ∈F有λ≤λ成立。
2) 對於任意兩個λ，u∈Γ，有λ≤u或者u≤λ成立。
3) 若λ≤u以及u≤λ，則λ=u。
4) λ≤u，u≤v且有λ≤v。
5)若λ≤u，且對任何v∈Γ皆有λv≤uv(λ+v≤u+v)。
有序交換群在賦值論中有很重要的作用。
賦值論
域論的一個重要分支。它是研究交換代數的一個工具。特別是在代數數論、分歧理論、類域論和代數幾何中有極為重要的套用。通常的賦值可分為加法與乘法賦值兩類，有時簡稱賦值。從賦值出發，可以給原來的域一個拓撲結構，使之成為拓撲域.賦值理論肇始於屈爾沙克(Kürschák，J.)於1913年發表的論文。賦值、賦值域這些名稱都是他首先引入的。其後，經過奧斯特洛夫斯基(Ostrowski，A.M.)等人的工作，解決了屈爾沙克在論文中提出的問題，並發展了這一理論。1932年，克魯爾(Krull，W.)發表了題為《一般賦值理論》的基本論文，從而奠定了賦值論這一分支的基礎。時至今日，賦值理論已逐漸越出了“域”的界限，在許多代數結構上，例如群、環、向量空間等，也用多種方式引進賦值，並由此對這些結構作算術理論的研究。此外，賦值論還滲入泛函分析的領域，發展了所謂非阿基米德泛函分析。
