薛丁格繪景

薛丁格繪景(Schrödinger picture)是量子力學的一種表述,為紀念物理學者埃爾溫·薛丁格而命名。在薛丁格繪景里,量子系統的態矢量隨著時間流易而演化,而像位置自旋一類的對應於可觀察量算符則與時間無關。

薛丁格繪景與海森堡繪景狄拉克繪景不同。在海森堡繪景里,對應於可觀察量算符會隨著時間流易而演化,而描述量子系統的態矢量則與時間無關。在狄拉克繪景里,態矢量與算符都會隨著時間流易而演化。

這三種繪景殊途同歸,所獲得的結果完全一致。這是必然的,因為它們都是在表達同樣的物理現象。

基本介紹

  • 中文名:薛丁格繪景
  • 外文名:Schrödinger picture
  • 領域:量子力學
簡介,時間演化算符,定義,性質,時間演化算符的微分方程,參閱,

簡介

薛丁格繪景(Schrödinger picture)是量子力學的一種表述,為紀念物理學者埃爾溫·薛丁格而命名。在薛丁格繪景里,量子系統的態矢量隨著時間流易而演化,而像位置自旋一類的對應於可觀察量算符則與時間無關。
薛丁格繪景與海森堡繪景狄拉克繪景不同。在海森堡繪景里,對應於可觀察量算符會隨著時間流易而演化,而描述量子系統的態矢量則與時間無關。在狄拉克繪景里,態矢量與算符都會隨著時間流易而演化。
這三種繪景殊途同歸,所獲得的結果完全一致。這是必然的,因為它們都是在表達同樣的物理現象。
在薛丁格繪景里,負責時間演化的算符是一種么正算符,稱為時間演化算符。假設時間從
流易到
,而經過這段時間間隔,態矢量
演化為態矢量
,這時間演化過程以方程表示為
其中,
是時間演化算符。
假設系統的哈密頓量H不含時,則時間演化算符為
其中,
約化普朗克常數,指數函式
必須通過其泰勒級數計算。
在初級量子力學教科書里,時常會使用薛丁格繪景。

時間演化算符

定義

時間演化算符
定義為
其中,右矢
表示時間為t的態矢量,
是時間演化算符,從時間t演化到時間
這方程可以做這樣解釋:將時間演化算符
作用於時間是
的態矢量
,則會得到時間是t的態矢量
類似地,也可以用左矢
來定義:
其中,算符
是算符U的厄米共軛。

性質

么正性
由於態矢量必須滿足歸一條件,態矢量的範數不能隨時間而變:
可是,
所以,時間演化算符必須是么正算符
其中,
單位算符
單位性
時間演化算符
必須是單位算符
,因為,
閉包性
從初始時間
到最後時間t的時間演化算符,可以視為從中途時間
到最後時間t的時間演化算符,乘以從初始時間
到中途時間
的時間演化算符:
根據時間演化算符的定義,
所以
可是,再根據定義
所以,時間演化算符必須滿足閉包性:

時間演化算符的微分方程

為了方便起見,設定
,初始時間
永遠是0,則可忽略時間演化算符的
參數,改寫為
含時薛丁格方程
其中,H是哈密頓量。
從時間演化算符的定義式,可以得到
由於
可以是任意恆定態矢量(處於
的態矢量),時間演化算符必須遵守方程
假若哈密頓量不含時,則這方程的解答為
注意到在時間t=0,時間演化算符必須約化為單位算符U(0)=I。由H是算符,指數函式
必須通過其泰勒級數計算:
按照時間演化算符的定義,在時間t,態矢量為
注意到
可以是任意態矢量。假設初始態矢量
是哈密頓量的本徵態,而本徵值
,則在時間t,態矢量為
這樣,可以看到哈密頓量的本徵態是定態,隨著時間的流易,只有相位因子在進行演化。
假設,哈密頓量與時間有關,但在不同時間的哈密頓量相互對易,則時間演化算符可以寫為
假設,哈密頓量與時間有關,而在不同時間的哈密頓量不相互對易,則時間演化算符可以寫為
其中,T是時間排序算符。
必須用戴森級數來表示,

參閱

  • 哈密頓-亞可比方程

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