海森堡繪景

海森堡繪景是量子力學的一種表述。這表述的算符（可觀察量和其它算符）相依於時間，而量子態則不相依於時間。海森堡繪景與薛丁格繪景有很明顯的差異。薛丁格繪景表述的算符是常數，而量子態則隨著時間演化。雖然有這些差異，兩種繪景只是不同於依賴時間的基底的改變。兩種繪景的測量統計結果完全相同。這是必然的。因為，它們都是在表達同樣的物理現象。

基本介紹

• 中文名：海森堡繪景
• 外文名：Heisenberg Picture
• 學科：量子力學
• 表述的算符：相依於時間
• 量子態：不相依於時間

介紹

海森堡繪景是量子力學的一種表述。這表述的算符（可觀察量和其它算符）相依於時間，而量子態則不相依於時間。海森堡繪景與薛丁格繪景有很明顯的差異。薛丁格繪景表述的算符是常數，而量子態則隨著時間演化。雖然有這些差異，兩種繪景只是不同於依賴時間的基底的改變。兩種繪景的測量統計結果完全相同。這是必然的。因為，它們都是在表達同樣的物理現象。海森堡繪景是矩陣力學在一個任意基底的表述。其哈密頓量不一定是對角的。

數學細節

在量子力學裡，海森堡繪景表述的量子態 不相依於時間，可觀察量 滿足海森堡方程：

；

其中， 是約化普朗克常數， 是哈密頓量， 是 與 的對易算符。在有些方面，我們感覺海森堡繪景會比薛丁格繪景更自然，更具有基礎性。特別是在表述相對論的時候，海森堡繪景顯然的表露出洛倫茲不變性。

更加地，海森堡繪景表述的量子力學與經典力學的相似可以很容易的觀察到：將對易算符改為泊松括弧，海森堡方程立刻就變成了哈密頓力學裡的運動方程。

史東-馮諾伊曼理論 (Stone-von Neumann theorem) 證明海森堡繪景與薛丁格繪景是等價的。

導引海森堡方程

設定可觀察量 （一個厄米算符）。處於時間 的量子態，其可觀察量的期望值是

。

根據薛丁格繪景，

。

那么，

。

定義相依於時間的算符 ，

。

隨時間的導數是

。

所以，

。

套用算符恆等式：

。

對於不相依於時間的，我們得到

。

由於泊松括弧與對易算符的關係，在哈密頓力學裡，這方程也成立。

對易關係

很明顯地，由於算符的相依於時間，對易關係在海森堡繪景里跟在薛丁格繪景里有很大的差異。例如，思考算符 與。這些算符隨時間的演化，相依於系統的哈密頓量。一維諧振子的哈密頓量是

。

位置算符和動量算符的演化方程分別為

，

。

再求這兩個方程隨時間的導數，

，

。

設定初始條件為

，

。

二次微分方程的解答分別是：

，

。

稍加運算，可以得到海森堡繪景里的對易關係：

，

，

。

請注意，假若 ，我們立刻會得到熟悉的正則對易關係。