莫爾斯函式是微分拓撲學的一個重要函式。微分流形M上的光滑函式f:M→R，若f所有的臨界點都是非退化的，則稱為莫爾斯函式。
基本介紹
- 中文名：莫爾斯函式
- 外文名：Morse function
- 所屬學科：微分拓撲
簡介,非退化臨界點,定義,性質,套用,
簡介
莫爾斯函式是微分拓撲學的一個重要函式。
非退化臨界點
微分流形M到R的函式，其臨界點都是非退化的。設M是n維微分流形，f:M→R為C函式，p∈M是f的臨界點，(U,φ)是M的含p的卡，坐標函式為(x1,x2,...,xn)，則
記
稱為f關於卡(U,φ)在p處的海賽矩陣。若海賽矩陣Hf(p)非退化，則稱p是f的非退化臨界點，此時Hf(p)的負特徵值個數稱為p的指數。臨界點p的非退化性及指數與含p的卡的選取無關。
定義
下述著名的莫爾斯引理給出光滑函式f在非退化的臨界點鄰域的局部性質。
設p∈M是C映射f:M→R的指數為r的非退化臨界點，則存在M的含p的卡，使得φ(p)=0，並且∀u=(u1,u2,...,un)∈φ(U)，
微分流形M上的光滑函式f:M→R，若f所有的臨界點都是非退化的，則稱為莫爾斯函式。
性質
由莫爾斯引理知，當M是緊緻流形時，M上的莫爾斯函式僅有有限個臨界點。
莫爾斯函式的所有臨界點的集合為M的離散閉子集。
對於任意微分流形M，M上的全體莫爾斯函式的集合在
中是開的稠密子集。
套用
由於M上的莫爾斯函式與M的拓撲性質有密切關係，所以莫爾斯函式是一類有重要意義的函式，它的性質有著廣泛套用。例如，黎泊定理、緊緻曲面的拓撲分類等都用到它。
